第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（ ）
A．若， B．若，
C．若， D．若，
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
6．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．的最小值为2
C．若，则
D．若，则的最小值为1
11．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12．设实数、满足，且，则、、中最大的是 ．
13．已知，且，则的最小值为 ．
14．“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小.
（2）已知，求的取值范围.
16．(15分)（1）已知，，求证：；
（2）已知，，，且，求证：．
17．(15分)（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
18．(17分)解关于x的不等式
(1)
(2)．
19．(17分)已知关于x的方程．
(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？
(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？
(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？
参考解析
1．D
【解析】对于A：若，，则，则，故A错误；
对于B：若，，例如，
则，故B错误；
对于C：若，可得，
则，无法得出，故C错误；
对于D：若，则，
可得，则，
所以，故D正确．
故选：D．
2．D
【解析】由，则，
当且仅当，即时，等号成立.故选：D.
3．A
【解析】由，即，解得或，
所以条件，即或，又条件，
∵是的充分不必要条件，∴.故选：A．
4．C
【解析】因为，，，
所以，，
当且仅当，即，时取等号.故选：C.
5．C
【解析】由，则
，
当且仅当，即，时，等号成立.故选：C.
6．A
【解析】命题“，不等式”为假命题，
则命题“，不等式”为真命题，
所以，解得，
所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为，
则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A
7．D
【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以且方程的解为，
所以，所以，
则不等式，即为不等式，
则，解得，
所以不等式的解集为.故选：D.
8．A
【解析】因为不等式的解集是空集，
所以不等式的解集是，
当即 时，
若 ，则 ， 舍；
若 ，则 ， ；
当时，则 ，解得 ，
综上所述 ，所以条件是条件的充分不必要条件．故选：A．
9．AB
【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以D错误.
故选：AB.
10．ACD
【解析】对于选项A，由，，得，解得，A正确.
对于选项B，取，满足，此时，B不正确.
对于选项C，由，得，取，，
则，由，得，则，则，
当且仅当，时，等号成立，从而，C正确.
对于选项D，由，得，
则.
因为
，当且仅当，
即时，等号成立，所以的最小值为1，D正确.
故选：ACD
11．BC
【解析】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），
所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，又关于一元二次不等式的解集为，
即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，又开口向下，对称轴为，
由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）：
所以，
则，所以，，所以，故A错误，B正确；
又，，所以，故C正确；
因为、为关于的方程的两根，所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
显然，所以，故D错误.
故选：BC
12．
【解析】因为，所以
所以
又，且，所以
所以,
所以，
所以、、中最大的是，
故答案为：.
13．
【解析】由于，因此，
则，
当且仅当时取等号．故答案为：.
14．5（答案不唯一）
【解析】若，则，
当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为，不合题意，
当时，不等式可化为，
此时不等式的解集为，符合题意，
当时，由不等式的解集为，
可得，即，
即，解得或，
综上可知，实数a的取值范围是，
所以一个满足条件的实数a的值可以为：5.
15．【解析】（1）.
因为，所以，，
所以.
因为，都为正数，所以，
因此，当且仅当时等号成立.
（2）由题意可设，
则，解得，，
因为，
所以，，则.
16．【解析】（1）因为，，所以，
当且仅当时取等号．
（2）∵，，，且，
∴
，当且仅当时取等号．
17．【解析】（1），，故，
所以．
，，
当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，．
（2）因为，且，
，
当且仅当，且时等号成立，取最小值，
，当时，．
18．【解析】（1）∵，
∴，∴，
解得：或，
故不等式的解集是或；
（2）∵，
∴，
时，，解得：，
时，，
，或，
时，不等式为，，
故不等式的解集是：或，
时，不等式为，
故不等式的解集是，
时，不等式为， ，
故不等式的解集是：或，
时，不等式为，，
故不等式的解集是：.
综上可知，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集是或，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是或，
时，不等式的解集是.
19．【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，
故方程的一个根大于1，另一个根小于1，
则，解得，所以a的取值范围是．
（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，
作满足题意的二次函数的大致图象，
由图知， ，
解得．所以a的取值范围是．
（3）方程的两个根都大于0，
则 ，解得，所以a的取值范围是．
