4.4.2 对数函数的图像和性质（同步训练）
一、选择题
1.下列各式中错误的是( )
A.ln 0.8＞ln 0.7 B.log0.50.4＞log0.50.6
C.lg 1.6＜lg 1.4 D.0.30.8＜0.30.7
2.若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A.(－∞，7] B.(2，7]
C.[7，＋∞) D.(2，＋∞)
3.已知函数f(x)＝loga(x－m)(a＞0，且a≠1)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
4.设a＝40.4，b＝0.44，c＝log0.20.03，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
5.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A.log2x B.
C. D.2x－2
6.已知a＝log65，b＝π0.3，c＝ln ，则下列结论正确的是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
7.函数f(x)＝lg |x|为( )
A.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 B.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
C.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
8.已知log0.3(5x)＜log0.3(x＋1)，则x的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.(多选)设函数f(x)＝，下列四个结论正确的有( )
A.函数f(|x|)为偶函数
B.若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C.函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D.若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|
二、填空题
10.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________
11.已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是________(填上正确的序号)
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
12.设函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，若g(2x－3)＞0，则x的取值范围是________
13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在[0，2]上的值域是[0，1]，则实数a＝________；此时，若函数g(x)＝ax＋m－的图象不经过第二象限，则m的取值范围为________
三、解答题
14.求下列函数的值域：
(1)f(x)＝log2(3x＋1)；(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)．
15.已知f(x)＝log3x．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜2时，利用图象判断是否有满足f(a)＞f(2)的a值．
16.已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：由对数函数的性质可知，函数y＝lg x为单调递增函数．又因为1.4＜1.6，所以lg 1.6＞lg 1.4.故C错误．故选C.
2.B 解析：因为lg (2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7.所以x的取值范围是(2，7].故选B.
3.A 解析：将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，得解得则有f(x)＝log4(x－3).由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性．函数f(x)在定义域上是增函数．
4.C 解析：1＝40＜40.4＜40.5＝2，0＜0.44＜1，log0.20.03＞log0.2(0.2)2＝2，所以b＜a＜c.故选C.
5.A 解析：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax.又因为f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
6.D 解析：a＝log65＜log66＝1，b＝π0.3＞π0＝1，c＝ln ＜ln 1＝0．∴b＞a＞c．故选D．
7.D 解析：已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg |x|在区间(－∞，0)上单调递减．
8.A 解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式等价于解得x＞．
9.ABD 解析：f(x)＝，x＞0.函数f(|x|)＝.因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，因为a≠b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，所以＝0，所以ab＝1，B正确；函数f(－x2＋2x)＝(－x2＋2x)＝[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；若0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)＝－(1－a2)＜0，即|f(1＋a)|＜|f(1－a)|，D正确．故选ABD.
二、填空题
10.答案：
解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为定义域上的增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调递增区间是.
11.答案：③
解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又因为当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0.
12.答案：(2，＋∞)
解析：易知f(x)＝2x的反函数为y＝log2x，即g(x)＝log2x，g(2x－3)＝log2(2x－3)＞0，所以2x－3＞1，解得x＞2．
13.答案：3，(－∞，－2]
解析：因为x∈[0，2]，则x＋1∈[1，3].当a＞1时，f(x)＝loga(x＋1)单调递增，∴解得a＝3.当0＜a＜1时，f(x)＝loga(x＋1)单调递减，∴无解，故a＝3.函数g(x)＝ax＋m－在R上单调递增，函数图象不经过第二象限，∴g(0)＝3m－≤0，解得m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2].
三、解答题
14.解：(1)对于f(x)＝log2(3x＋1)，令3x＋1＝t，则t＞1．
此时f(x)＝log2t，t＞1．故值域为(0，＋∞)．
(2)f(x)＝log2·log2＝(log2x－log24)(log2x－log22)＝(log2x－2)(log2x－1)＝(log2x)2－3log2x＋2．
令log2x＝t，∵1≤x≤4，∴0≤t≤2．即f(x)＝t2－3t＋2，0≤t≤2．
故值域为．
15.解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2．
由如图所示的图象知，当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2)．
故当0＜a＜2时，不存在满足f(a)＞f(2)的a值．
16.解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间上单调递增，且＝0，f(2)＝log415，
所以f(x)在上的值域为[0，log415].
