2023~2024学年山西高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、命题“存在一个三角形，它是轴对称图形”的否定是（ ）
A.存在一个三角形，它不是轴对称图形
B.存在无数个三角形，它是轴对称图形
C.任意一个三角形，它是轴对称图形
D.任意一个三角形，它不是轴对称图形
2、设集合 ．若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、设 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递减”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6、已知定义域为 的偶函数 满足：对任意的 ，都有
．若 ，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形．点 从点 出发，沿着边
运动到点 ，点 在边 上运动，直线 ．设点 运动的路程为 的左侧部分的多
边形的周长（含线段 的长度）为 ．当点 在线段 上运动时， 的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10、已知函数 ，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 是偶函数
D. 是增函数
11、已知 ，且 ，则（ ）
A. 的取值范围为
B. 的最小值为8
C. 无最小值
D. 的最小值为16
12、已知函数 的定义域为 ，若 ，且 均为奇函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 （ ，且 ）的图像恒过的定点的坐标为 ．
14、已知奇函数 满足当 时， ，则 ．
15、某社区为了丰富居民生活，计划开展“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”三项活动．报名参加活动的共
有120人，参加活动的居民每人至多参加两项活动．已知参加“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”的人数分别
为 ，同时参加“读书沙龙”“趣味运动”的有20人，同时参加“趣味运动”“环保主题绘画”的有10人，则同
时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的有 人．
16、若关于 的方程 有解，则 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
完成下列各题：
(1)计算： ．
(2)用分数指数幂表示并计算（ 均为正数）： ．
18、（本小题12分）
已知 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)用定义证明 ： 在 上单调递增．
19、（本小题12分）
已知幂函数 的图象经过第三象限．
(1)求 的值；
(2)解关于 的不 等式 ．
20、（本小题12分）
杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭
州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定
成本为4万元，每生产 万件，需另投入成本 万元．当产量不足6万件时， ；当产量不小于6
万件时， ．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全
部销售完．
(1)求该款产 品销售利润 （万元）关于产量 （万件）的函数关系式；
(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？
21、（本小题12分）
已知函数 的图象经过原点及点 ．
(1)求 的值；
(2)已知函数 在 上的值域为 ，求 的值．
22、（本小题12分）
已知关于 的函数 ，与 在区间 上恒有 ．
(1) 若 ，求 的表达式；
(2)若 ，求 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“存在一个三角形，它是轴对称图形 ”的否定是
“任意一个三角形，它不是轴对称图形”，
故选：D.
2、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 ，所以 ，
即1是方程 的解， 将 代入方程得 ，
所以 的解为 或 ，
所以 ．
故选：A.
3、
<答 案>:
B
<解析>:
若函数 的定义域为 ，
则 ，即 的定义域 为 ，
所以 的定义域满足 ，解得
所以函数 的定义域为 ．
故选：B.
4、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 ，所以 ．
故选：A
5、
<答 案>:
A
<解析>:
若 在 上单调递减，
则任取 ，且 ，
所以 恒成立，
又 ，且 ，所以 ，
故 ,
所以“ ”是“ 在 上单调递减”的充要条件．
故选：A.
6、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ，所以 在 上单调递增．
因为 为偶函数，所以 在 上单调递减．
若 ，则 或 ，解得 或 ．
故选：C.
7、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 是等腰直角三角形， ，
所以 ．当点 在线段 上运动时，
．
故选：A.
8、
<答 案>:
D
<解析>:
当 时， 的值域为 ．
当 时， 符合题意．
当 时，函数 的图象开口向上，不符合题意．
当 ，且 ，即 时， 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，故 ．
当 ，且 ，即 时， 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，故 ．
综上， 的取值范围是 ．
故选：D
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;D
<解析>:
对于A， 的定义域、值域、对应关系都与 相同，是同一函数．
对于B， 与 是同一函数．
对于C， ，解析式不同，与 不是同一函数．
对于D， 与 是同一函数．
故选：ABD.
10、
<答案 >:
A;D
<解析>:
对于A、B项：由题意 的定义域为 ，值域为 ，故A项正确，B项错误；
对于C 项： ，所以 既不是奇函数，也不是偶函数，故C项错误；
对于D项：因为 是增函数， 是增函数，所以 是增函数，故D项正确．
故选：AD.
11、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
对于A项：因为： ，所以 ．因为 ，所以 ，故A项正确．
对于B、C项： ，即 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B项正确，C项错误．
对于D项： ，即 ，解得 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，故D项正确．
故选：ABD.
12、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
因为 均为奇函数，所以 ，即
①， ，
因为 ，即 ，所 以 ，即 ②．
由①，取 得 ，
由②，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 ．
由①，令 ，得 ．
故选：ABC
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
因为 ，
所以恒过的定点的坐标为 ，
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
因为奇函数 满足当 时， ，
所以 .
故答案为：
15、
<答案 >:
20
<解析>:
同时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的人数为 .
故答案为：20.
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意可得 ，
即 有解．
令 ，则 ．
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）原式
（2）
18、
<答案 >:
(1)
(2)证明见 解析；
<解析>:
（1）由题意可得 ，
则 ，解得
（2）证明：由（1）可得 ．
令 ，
则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增
19、
<答案 >:
(1)3
(2)
<解析>:
（1）因为 是幂函数，所以 ，解得: 或 ，
当 时， ，与题意不符；
当 时， ，符合题意．
综上所述： 的值为 .
（2）结合（1）可得 ，其定义域为R，
设： R，且 ，
又因为： ， ，所以： ，
所以： 是增函数.
因为： ，所以： ，
所以： ，解得： ，
故关于 不等式的解集为： .
20、
<答案 >:
(1)
(2)9；9.5万元．
<解析>:
（1）当 时， ，
当 时， ，
所以：
（2）当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为8.5万元．
当 时，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，最大值为9.5万元．
综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元.
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题意可得 ，解得 .
（2）由（1）知， ，
则 ．
因为 在 上是增函数，且 ，所以 在 上是增函数．
因为 在 上是增函数，所以 在 上是增函数，
又 在 上的值域为 ，
所以 ，即 ，
解得 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由 ，得 ．
取 ，得 ，所以 ．
由 ，得 ，此不等式对 恒成立，
所以 ，则 ．
此时 恒成立，故
（2）由 ，得 ，
即 对 恒成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ．
由 ，得 ，
即 对 恒成立．
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，则 ．
综上， 的取值范围是
