2024年福建省三明市三元区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数：，，，，其中最小的是( )
A. B. C. D.
2.以下几何体的主视图是矩形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，利用工具测量角，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
4.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
5.县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为精确到( )
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，点，，在上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.我国明代数学读本算法统宗一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果托为尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为尺，竿子长为尺，可列方程组为( )
A. B. C. D.
9.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为( )
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
10.如图，正方形纸片，为正方形边上的一点不与点，点重合将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接，，交于点，连接下列结论：平分；；；，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：______．
12.菱形的周长为，对角线，相交于点，是的中点，则的长是______．
13.若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ．
14.在一个不透明的袋子中装有张完全相同的卡片，分别写有数字，，从中随机抽取两张，组成的两位数是的倍数的概率为______．
15.如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数图象上，若，，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程组：．
18.本小题分
解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
19.本小题分
如图，已知，，求证：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点，平分．
求证：是的切线．
若，，求．
22.本小题分
如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为______；
在互相看不见的条件下，姐姐从左端、、三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
23.本小题分
某综合与实践小组想要测量如图所示的池塘、两个端点的距离，但没有足够长的测量工具，两个小组的同学想到了不同的测量方案．
勤奋小组的同学根据平时学习到的知识，设计了如下的测量方案：
先在池塘一侧的平地上取一个可以直接到达、两点的点可以测得、的距离；
连接并延长至点，使______，连接并延长至点，使______；
连接并测量出它的长度，则______的长度就是、两个端点的距离；
用直尺和圆规在图中画出测量示意图不写作法，保留作图痕迹，标明字母；
成员任务分配与实地测量略．
请你帮勤奋小组的同学将测量方案补充完整，并说明此测量方案合理的理由．
创新小组的同学受到启发，经过组内成员的探究，画出如图所示的示意图，并得到了如下的测量方案：
派一名同学戴一顶太阳帽，在点处立正站好；
调整太阳帽，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点处；
该同学旋转后保持方才的姿势，再次使视线通过帽檐，且将视线所落在平地上的位置记为点；
测得的长度就是、两个端点的距离．
试说明该测量方案可行的理由．
24.本小题分
已知抛物线为常数，且．
请直接写出该抛物线的对称轴：直线______．
若对于任意实数，抛物线始终在轴下方，求的取值范围；
若，设抛物线的顶点为若直线与抛物线相交于点、点在点的左侧，与抛物线的对称轴相交于点，且点在点的上方，过点作直线的垂线，垂足为若点、、三点共线，那么直线是否经过一个定点若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
25.本小题分
问题提出如图，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小；
再探究一般情形，如图，求与的数量关系．
问题拓展将图特殊化，如图，当时，若，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
所以原方程组的解为：．
18.解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
19.证明：在和中，
，
≌，
，
，
，，
．
20.解：原式
，
当时，原式．
21.证明：如图，连接，
平分．
，
，
，
，
．
，
．
是的切线；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
．
22.；
列举得：，，，，，，，，；
共有种等可能的结果，其中符合题意的有种，
这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：．
23.；；
；
测量示意图如解图所示：
理由：在与中，
，
≌，
；
根据题意，得，，，
≌，
．
24.；
由题意得：且，
即，
解得：；
时，抛物线的表达式为：，点，
设点、的横坐标反比为，，直线的表达式为：，
则点，
联立抛物线和直线的表达式得：，
则，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
整理得：，
即，
则直线的表达式为：，
当时，，
即直线过定点．
25.解：问题探究如图中，在上截取，使得．
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
结论：；
理由：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
≌．
．
，
．
，
，
；
问题拓展：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为．
，
，．
在中，，
，
，，
，
由知，，
，
∽．
，
，
，
由知，，
．
．
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