21.5 反比例函数
一、单选题
1．函数的图像经过点，则下列点中不在此函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图象分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大
5．反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，B是反比例函数的图像上一点，A、C在坐标轴上，四边形是矩形，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数的图象可以由正比例函数的图象向左平移一个长度单位得到．类似地，反比例函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到．下列关于反比例函数的图像性质描述错误的是（ ）
A．函数图像与y轴交点坐标为 B．当时，y随x的增大而减小
C．函数图像与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而减小
9．某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（ ）
售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5
销售y（瓶） 200 192 160 150 128
A．销量是售价的正比例函数
B．每天的利润是售价的正比例函数
C．每天的利润是售价的反比例函数
D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶
10．如图，已知函数，，点A在y轴的正半轴上，过点A作轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为
②若，则
③若，则，的图象关于轴对称
④当时，则的取值范围为
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
二、填空题
11．已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．已知反比例函数的图像位于第二、第四象限，则m的取值范围为 ．
13．对于函数，当，的取值范围是 ．
14．已知点，均在反比例函数的图像上，且，则 （填“＞”或“＜”）．
15．已知，为函数（为常数，，）图象上的两个点，为坐标原点，若，，则 ．
16．如图，反比例函数的图象记为曲线，将向左平移2个单位长度，得到曲线，则平移至处所扫过的面积是 ．
17．如图，四个点在第一象限内，分别过这四个点作x轴的垂线作y轴的垂线，若矩形的面积都是5，则四个点所在的函数解析式为 ．
18．如图，点是双曲线上一点，射线与另一支曲线交于点轴，垂足为点．有以下结论：①；②点坐标为；③面积为；④随的增大而增大，其中正确的结论是 （填入正确答案的序号）．
三、解答题
19．已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）．
（1）求k的值．
（2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系．
20．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标．
21．在平面直角坐标系中，将按如图所示方式放置，已知，．将先向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到．
(1)直接写出D、F两点的坐标（用含m的代数式表示）
(2)若点D、F均落在反比例函数的图象上，求m的值及反比例函数的解析式．
22．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，垂足为，为的中点．，．
(1)求出反比例函数的关系表达式；
(2)若是该反比例函数图象上一点，且．请直接写出的取值范围．
23．如图，已知，是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围．
24．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质．
x … 0 1 2 3 4 …
y … a b …
(1)列表，写出表中a，b的值：__________，_________；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
(2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________．
①函数的图像关于y轴对称；
②当时，函数有最小值，最小值是；
③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大；
④函数与x轴必有两个交点；
(3)已知函数的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式的解集．
答案
一、单选题
1．C
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特点找到横纵坐标的积不等于8的点即可．
【详解】解：函数的图象经过点，
．
A、，在反比例函数图象上，不符合题意；
B、，在反比例函数图象上，不符合题意；
C、，不在反比例函数图象上，符合题意；
D、，在反比例函数图象上，不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】根据反比例函数的性质，时，图象在一、三象限，进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数，，
∴图象分布在第一、三象限，即：
故选C．
3．C
【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴它的另一个交点的坐标是．
故选：C．
4．B
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：，点不满足关系式，因此A选项不符合题意；
；
它的图象在第一、三象限，因此选项符合题意；
当时，它的图象在第三象限，随的增大而增小，因此C选项不符合题意；
当时，它的图象在第一象限，随的增大而增小，因此D选项不符合题意．
故选：B．
5．C
【分析】根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】设，得到，根据矩形面积公式和矩形的性质求解即可．
【详解】∵B是反比例函数的图像上一点，
∴设，即，
∴，
∴矩形的面积为，
∴的面积是．
故选：B．
7．A
【分析】根据一次函数及反比例函数图像与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由一次函数图像可知，则，从而反比例函数图像在第一、三象限，该选项正确，符合题意；
B、由一次函数图像可知，则，从而反比例函数图像在第二、四象限，该选项错误，不符合题意；
C、由一次函数图像可知，则，从而反比例函数图像在第一、三象限，该选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知，则，从而反比例函数图像在第一、三象限，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
8．D
【分析】先画出函数图像，根据反比例函数的性质和函数的图像即可得．
【详解】解：如图所示，
当时，，
则函数图像与y轴交点坐标为；
根据函数图象得，当时，y随x的增大而减小；函数图像与x轴没有交点；
当时，y随x的增大而减小；
故选：D．
9．D
【分析】根据反比例函数的意义计算售价和销售量的乘积，即可判断A，再求出利润的表达式，即可判断B，C，根据利润为1600元列出方程，解之即可判断D．
【详解】解：由表可知：
，
∴销量是售价的反比例函数，故A不合题意；
每天的利润为：
故每天的利润既不是售价的正比例函数，也不是反比例函数，故B，C不合题意；
要使每天的利润达到1600元，
则，
解得：，即售价为33元/瓶，故D符合题意；
故选D．
10．C
【分析】①将代入求解；②由得，再由求解；③若，则，2与互为相反数，的图象关于y轴对称；④将代入求出y值，再由函数增减性求解．
【详解】解：①将代入得，故①正确；
②∵，，，
∴，故②错误；
③若，则，
∴的图象关于y轴对称，故③正确；
④当时，，
∵随x增大而增大，
∴时，故④错误．
综上，①③正确．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】将点，代入反比例函数，可求得和的数值，即可得到答案．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，．
∴．
故答案为：．
12．
【分析】根据反比例函数的性质得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵的图像位于第二、第四象限，
∴，
∴，
即m的取值范围为．
故答案为：
13．或
【分析】当时，，根据函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：当时，，
则于函数，图象在第一、三象限内，在每个象限内,y随x的增大而减小，
∴当，的取值范围是：，
当时，的取值范围是：．
故答案为：或
14．＞
【分析】根据反比例函数的图像性质解答即可．
【详解】∵，
∴反比例函数的图像在第二、四象限，
∴在每一个象限内随的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＞
15．
【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意可得在同一象限，且关于第一象限的角平分线对称，进而求得点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，过分别作轴的垂线，垂足分别为，
依题意，，为函数（为常数，，）图象上的两个点，，，
∴在同一象限，且关于第一象限的角平分线对称，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．6
【分析】根据平移的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，平移至处所扫过的面积，
故答案为：6．
17．
【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解．
【详解】根据反比例函数的几何意义，可得第一象限内的四个点所在的函数解析式为
故答案为：．
18．①②③
【分析】将点A代入可判断①；根据中心对称的性质可求出点B的坐标，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；根据反比例函数的性质可判断④．
【详解】将点代入可得，，故①正确；
∵由图像可得，点A和点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
由图象可得，
在每一象限内，随的增大而增大，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
19．解：（1）由题意，将点代入得：，
解得；
（2）由（1）得：反比例函数的解析式为，
在每一象限内，随的增大而增大，
均在反比例函数的图象上，且，
．
20．（1）∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1，
∴PM=ON=1，
∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)，
∵反比例函数和一次函数都进过P点，
∴将P点坐标分别代入得：，，
∴k=2，b=1，
∴反比例函数的解析式为：和一次函数；
（2）将y=0代入得x=-1，
∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)，
∴OA=1，
∵，=2，
∴，
∵G点在y轴上，
∴OG⊥OA，即，
又∵OA=1，
∴OG=1，即G点到x轴的距离为1，
∵G点在y轴上，
∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点，
∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)．
21．（1）解：∵，
∴，
∵先向右平移2个单位，再向上平移m个单位后得到，
∴；
（2）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
22．（1）∵轴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为：，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）∵是该反比例函数图象上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：设反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为．
在上，
，即，
．
设一次函数的解析式，
经过，，
．
解之得．
一次函数的解析式为．
（2）解：设是直线与轴的交点，
当时，，
解得，
点．
．
∵，
．
（3）解：由图象可知当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围为：或．
24．（1）函数，
令，可得，
故；
令，可得，
故，
故答案为：；．
描点、连线，在画出该函数的图像如下：
（2）由函数的图像可得：
①函数的图像关于轴对称，①正确；
②当时，函数有最小值，最小值是，②正确；
③自变量时，函数的值随自变量的增大而增大；自变量时，函数的值随自变量的增大而减小，③错误；
④由于恒成立，故函数的图像与轴不可能有交点，④错误，
故答案为：①②．
（3）不等式表现在图像上，
即函数的图像比函数的图像低，
因此观察图像可得到的解集为：或．
