6.4.3 探索三角形相似的条件——两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
一．单选题
1．如图，四边形的对角线、相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
2．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与相似的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，下列条件中不能判定的是
A． B． C． D．
4．已知：如图，梯形中，，，，，．在线段上若存在点，使得与相似，则满足条件的点的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点，．对于下列结论：①；②；③．其中正确的个数 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
6．如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是 （写出一个即可）．
7．如图，在中，为上一点，，若，则的长度为 ．
8．一块三角形纸片按如图所示方式折叠，使点落在边上的点处，折痕是，以点、、为顶点构成的三角形与相似，已知，，则的长是 ．
9．在直角坐标系中，为坐标原点，已知点、、，过点作直线交轴于点，使得以，，为顶点的三角形与相似，这样的直线最多可以作 条．
三．解答题
10．如图，将绕点旋转至△的位置，点恰好在上，与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
11．如图，在中，，，在边上截取，连接．
（1）通过计算，判断与的大小关系；
（2）求证：．
12．如图，在中，点、分别在边、上，，分别交线段、于点、，且．求证：
（1）平分；
（2）．
13．如图，为线段上一点，以为圆心，长为半径的交于点，点在上，连接，满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
14．如图，在中，、，点从出发，以的速度向运动，同时点从出发，以的速度向运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．
（1）则 ； （用含的代数式表示）；
（2）求运动时间的值为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？
15．如图，在矩形中，是上的动点，连接，，若上存在三个不同位置的点，使与相似，设，则的取值范围是多少．
16．如图，已知，是内部的一点，过点作，垂足为点，厘米，厘米，动点，同时从点出发，点以1.5厘米秒的速度沿方向运动，点以2厘米秒的速度沿方向运动，与交于点，连接，当点到达点时，点随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）当秒时，与是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论取何值时，总有．为什么？
（3）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：在与中，
，
，
①与③相似，故选项正确，
又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故，，选项均不正确．
故本题选：．
2．
【详解】解：第一个图形两边对应成比例，但夹角不相等，故两三角形不一定相似，故本选项不合题意；
第二个图形阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项符合题意；
第三个图形阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项符合题意；
第四个图形阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项符合题意．
故本题选：．
3．
【详解】解：若，不能判定与相似，当，结合可判定与相似，故选项符合题意；
若，结合可得，故选项不合题意；
若，结合可得，故选项不合题意；
若，即，结合，可得，故选项不合题意．
故本题选：．
4．
【详解】解：，，
，
设，则，
①当，即时，，
解得：，
；
②当，即时，，
解得：，，
或，
故点有三个点．
故本题选：．
5．
【详解】解：在的同侧作等腰和等腰，
，，
，
，
，
，
所以①正确；
，
，
，
，
，
，
所以②正确；
由②得，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以③正确．
故本题选：．
二．填空题
6．
【详解】解：在和中，
，
添加或或，．
故本题答案为：或或．
7．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
8．
【详解】解：设，则，
沿折叠，使点落在边上，记为点，
，
，
当时，△，
，即，解得：；
当时，，
，即，解得：，
综上，的长为或．
故本题答案为：或．
9．
【详解】解：若，则，
，则或，
若，则，
，则，或，，
所以可以作出四条直线．
故本题答案为：4．
三．解答题
10．证明：（1）由旋转的性质可知，，
，
△，
；
（2），
，
，，
，
．
11．（1）解：，理由如下：
，，
，
，，
；
（2）由（1）知，
，
，
，
又，
．
12．解：（1），，，
，
在和中，
，
，
平分；
（2）在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
13．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，，，
，
，
，
．
14．解：（1）点从出发，以的速度向运动，
，
，点从出发，以的速度向运动，
，
，
故本题答案为：，；
（2）点从出发，以的速度向运动，同时点从出发，以的速度向运动，
，，，
，且以、、为顶点的三角形与相似，
或，
或，
或，
故本题答案为：或．
15．解：①当点是的中点时，则，
，
又，
；
②当点不是的中点时，
若，，则，
，
，
上存在三个不同位置的点，
△，
，
，
．
故本题答案为：．
16．解：（1），
厘米，厘米，
厘米，厘米，
，，
，
；
（2）在运动过程中，，，
，，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或（舍去），
当时，．
