2024~2025学年度第一学期高三年级期初抽测
数 学 试 题
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是
A. B. C. D.
3．函数的大致图象是
A． B． C． D．
4．已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
5．已知函数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数，若，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是
A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数
8．已知函数的定义域为，且，记，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的是
A．命题“，”的否定是“，”；
B．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的必要不充分条件
C．函数的图象恒在的图象上方，则a的范围是
D．已知均不为零，不等式不等式和的解集分别为M和N，则“”是“”成立的既不充分也不必要条件
10．已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是
A．函数的一个周期是
B．函数的一个周期是
C．若，则
D．若当时，，则当时，
11．已知是函数 的极值点，若，则下列结论正确的是
A．的对称中心为 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 .
13．已知函数，，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范围是 ．
14．若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系.
已知函数（），（），且与具有关系，则m的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，使得，求实数的取值范围．
16．（15分）
设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
（1）求k和a的值；
（2）判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
（3）函数，，求的值域．
17．（15分）
已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
18．（17分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
（17分）
已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
