天津市河北区2023-2024学年高一下学期期末质量检测
数学
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则（ ）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互为对立事件 B.
C. 与相等 D. 与互斥
3. 一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
5. 用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）
A. 12 B.
C. 9 D. 3
6. 如图，已知，则（ ）
A. B.
C D.
7. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C 若，，，则
D. 若，，，则
8. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ）
A. 该市14天空气质量指数的中位数为78.5
B. 该市14天空气质量指数的第30百分位数为55
C. 该市14天空气质量指数的平均值大于100
D. 计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大
10. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上．
11. i是虚数单位，复数______．
12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家．
13. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______．
14. 已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为______．
15. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______．
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率；
①“两个点数之和是5”；
②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.
17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值和的面积．
18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．
19. 如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角正弦值．
天津市河北区2023-2024学年高一下学期期末质量检测
数学 答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上．
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】20
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】##0.2
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1），是古典概型；
（2）；.
【17题答案】
【答案】（1）
（2），
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）众数是，中位数为
【19题答案】
【答案】（1）证明略
（2）证明略 （3）
