上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷
（本试卷共4页，满分150分，90分钟完成.答案一律写在答题纸上）
一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）
1. 平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为___________.
2. 在复数范围内方程的解为________.
3. 若等差数列的前三项依次为，，，则实数的值为______.
4. 若数列的前项和，则_____.
5. 已知，，则__________.
6. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____.
7. 直线与的夹角为_____________.
8. 将无限循环小数化为分数：______.
9. 已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则_______.
10. 计算：_____________.
11. 当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）.
12. 已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为_____________.（结果用表示）
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）
13. 已知复数满足，取值范围为（ ）
A B. C. D.
14. 在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为；将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为；将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为.则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ）
A. B. C. D. 不能确定的
16. 若无穷数列满足：，当，时，（其中表示，，，中的最大项），有以下结论：
①若数列是常数列，则；
②若数列是等差数列，则公差；
③若数列是等比数列，则公比；
④若存在正整数，对任意，，都有，则是数列的最大项.
则其中的正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17. 已知直线和直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
（1）求数列的通项公式：
（2）若是数列的前项和，求的最小值.
19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴 轴 轴正方向的单位向量.
（1）计算值，
（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中坐标.已知
①求的值；
②求的面积：
四、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）
20. 已知复数，其中为虚数单位，
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值.
21. 已知函数，其中，（，）
（1）若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
0
0
（2）若，，写出函数的最小正周期和单调增区间
（3）若的频率为，且恒成立，求函数的解析式.
22. 如图，某地有三家工厂分别位于矩形的两个顶点及的中点处.，.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边界）且与等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道.记排污管道的总长度为.
（1）设，将表示成的函数并求其定义域；
（2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度最短，并求出此时的值.
上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷 答案
一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】，
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】##
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）
【13题答案】
【答案】A
【14题答案】
【答案】C
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
【17题答案】
【答案】（1）0或2 （2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①，②
四、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）最小值为，此时
【21题答案】
【答案】（1）略
（2）；，
（3）
【22题答案】
【答案】（1），定义域为
（2）点位于线段的中垂线上,且距离边处..
