2024年江苏省南京一中明发滨江分校中考数学三模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列各式的计算结果是的是( )
A. B. C. D.
3.已知，则下列符合条件的的值是( )
A. B. C. D.
4.如图，数轴上点、两点所表示的数分别为、，下列各式中：；；；，计算结果一定是正数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向取截一个圆柱，圆柱的截面不可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，与矩形的三边、、分别相切于点、、，连接、，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.的相反数是 ，的倒数是 ．
8.若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
9.年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为______．
10.计算的结果是______．
11.分解因式：的结果为 ．
12.一组数据：，，，，，这个数的平均数为，则中位数为______．
13.如图，图象、、分别是反比例函数、、为常数的部分图象，比较、、的大小关系______用“或”连接
14.如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ______填“、或”
15.如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于______．
16.如图，在中，，，点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且是线段的中点，运动过程中，的最小值为______．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式组．
18.本小题分
学校计划铺设一条的跑道，若由甲施工队铺设，所需时间比规定时间多天；若由乙施工队铺设，所需时间比规定时间少天乙队的铺设速度比甲队快求学校铺设跑道的规定时间是多少天？
19.本小题分
如图，在中，，、、分别是、、的中点．
求证：四边形是菱形．
若，，则菱形的面积为______．
20.本小题分
某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出了频数分布表．
等车时间
频数
等车时间的中位数可能是______．
A.
B.
C.
车站称“旅客等车平均等车时间不超过分钟”，你认为这个说法合理吗？为什么？
车站采取措施，减少了旅客的等车时间并再次调查，以下能说明旅客等车时间减少的统计图是______填写所有正确的序号
21.本小题分
盲猜饮料挑战：小明知道不透明的箱子中装有雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这种饮料，但不清楚种饮料的摆放顺序．
小明猜对摆放在位置的饮料的概率为______．
求小明猜对所有位置上饮料的概率．
22.本小题分
如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面、两个探测点探测到地下处有金属回声．已知、两点相距米，探测线，与地面的夹角分别是和，试确定有金属回声的点的深度是多少米？
23.本小题分
如图，已知和，求作点，使得、分别是的两条切线，且．
要求：用两种方法作图保留作图痕迹
24.本小题分
某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作某数学小组对壶中水量单位：，水温单位：与时间单位：分进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．
表从开始加热至水量与时间对照表
表水从开始加热，水温与时间对照表
煮沸模式 保温模式
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数．
写出表中的值；
根据表中的数据，补充完成以下内容：
在图中补全水温与时间的函数图象；
当时， ______；
假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源出门前，他______填“能”或“不能”喝到低于的水．
25.本小题分
如图，内接于，，连接，过作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求半径的长．
26.本小题分
已知二次函数．
直接写出该函数图象的对称轴．
求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴．
点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围．
27.本小题分
我们知道：三角形的三条角平分线交于一点内心、三条中线交于一点重心、
如图，的中线、相交于点，连接，易证∽，可得如图，的中线、相交于点，同理易证 ______于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点这样证明两个点与是同一点的方法也称为“同一法”．
如图，是的角平分线，求证：．
由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
根据中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点．
在中，，，是的角平分线，且，则 ______．
参考答案
1.
解：，
．
故选：．
2.
解：、，符合；
B、，不符合；
C、，不符合；
D、，不符合．
故选：．
3.
解：根据题意可知，，
，
，
选项中符合条件的的值是，
故选：．
4.
解：如图所示，，，
，即，故符合题意
，故符合题意，
，故符合题意，
不确定的正负，
无法判断的正负，故不符合题意，
故选：．
5.
解：利用平面将圆柱竖直切所得截面为，利用平面将圆柱横着切所得截面为，利用平面将圆柱斜着切所得截面为，
则，，不符合题意，符合题意；
故选：．
6.
解：连接、、、，
四边形是矩形，
，
与、、分别相切于点、、，
，，，
，
，，
四边形和四边形都是矩形，
，，
四边形和四边形都是正方形，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故选：．
7. ，
解：的相反数是；
的倒数是；
故答案为：，．
8.
解：由题意知，，解得，
故答案为：．
9.
解：万，
故答案为：．
10.
解：原式
，
故答案为：．
11.
解：．
故答案为：．
12.
解：根据平均数的定义可知，，
解得：，
，，
把这组数据从小到大的顺序排列为，，，，，，处于中间位置的两个数都是，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故答案为：．
13.
解：图象分布在第四象限，，
图象分布在第三象限，，，
图象在图象内部，
，
．
故答案为：．
14.
解：如图，过点作于点，则过圆心，连接，
在中，，，
，，
，
；
如图，连接，，过点作于点，
六边形是圆内接正六边形，
，，
，
是正三角形，
，
在中，，，
，
，
，
；
故答案为：．
15.或
解：当时，是等腰三角形，
四边形是正方形，
，
将沿翻折，得到，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
当时，是等腰三角形，
过作，
，，
，
将沿翻折，得到，
，
，
，
，
；
当时，是等腰三角形，
此时点于点重合，这种情况不存在，
综上所述，等于或，
故答案为：或．
16.
解：设，则，，
，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
是线段的中点，
，
的最小值为．
故答案为：．
17.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
18.解：设学校铺设跑道的规定时间是天，则甲施工队铺设所需时间为天，乙施工队铺设所需时间为天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：学校铺设跑道的规定时间是天．
19.证明：、、分别是、、边的中点，
、都是的中位线，
，，
，
，
四边形是菱形；
解：过点作于点．
由可知，，
，，
，
菱形的面积为
20.解：等车时间的中位数位于，
所以等车时间的中位数可能是，
故答案为：；
车站称“旅客等车平均等车时间不超过分钟”这个说法不合理，理由如下：
旅客等车平均等车时间大约为：分钟，
，
车站称“旅客等车平均等车时间不超过分钟”这个说法不合理；
车站采取措施，减少了旅客的等车时间并再次调查，能说明旅客等车时间减少的统计图是．
故答案为：．
21.解：由题意可知，小明猜对摆放在位置的饮料的概率为，
故答案为：；
由题意可知，小明猜对摆放在位置的饮料的概率为，
小明猜对摆放在位置的饮料的概率为，
小明猜对摆放在位置的饮料的概率为，
小明猜对摆放在位置的饮料的概率为，
综上所述，小明猜对所有位置上饮料的概率均为．
22.解：如图，作于点．
．
探测线与地面的夹角分别是和，
，．
在中，，
．
在中，，
．
在中，，，
由勾股定理，得 ．
．
不合题意，舍去．
．
有金属回声的点的深度是米．
23.解：图形如图所示：
如图中，作，，分别交于点，，分别过点，点作，的垂线交于点，，即为所求，且；
如图中，作半径，过点作，作，交于点，以网圆心，为半径作弧交于点，直线，即为所求，且．
24.解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，
，
在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，
，
．
补全水温与时间的函数图象如图所示：
当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．
在这个过程中每分钟，水温升高，则每分钟水温升高，
由此得，
解得，
分，
根据表的数据可知，经过分后降到了，然后开始加热分钟水温升到了，
当时，．
故答案为：．
由表可知，的水从加热到需要分，
分，
由表可知，水温从降到需要分，
，
出门前，他不能喝到低于的水．
故答案为：不能．
25.证明：如图，连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
是的切线，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形，
，
，，
，
在中，，，
，，
在中，，
设半径的长为，则，，
，
解得，
即半径的长为．
26.解：由题意得，抛物线对称轴是直线．
证明：由题意，令．
或．
该函数图象与轴的两个交点为，．
，
．
．
，．
．
该函数图象与轴的两个交点均在正半轴．
解：由题意，对称轴是直线，
又点、在该函数图象上，
，．
当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远，
．
若，
．
．
此时．
若，
．
．
此时．
综上，时，．
当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近，
．
若，
．
．
此时．
若，
．
．
此时．
综上，或时，．
当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远，
．
此时，
，不合题意．
当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近，
．
此时，
．
时，．
综上所述，当或时，；或时，．
27.解：如图，的中线、相交于点，连接，
，，
，，
∽，
，
．
如图，的中线、相交于点，
同理易证：．
于是，点与点重合，
三角形的三条中线交于一点．
这样证明两个点与是同一点的方法也称为“同一法”．
故答案为：；
证明：过点作于点，于点，如图，
是的角平分线，
，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：；；
证明：用同一法．
如图，的角平分线、相交于点，过点作于点，于点，于点，
为角平分线，，，
，
为角平分线，，，
，
，
点到的三边距离相等；
如图，的角平分线、相交于点，过点作于点，于点，于点，
为角平分线，，，
，
为角平分线，，，
，
，
点到的三边距离相等，
点与点重合，
的三条角平分线交于一点；
解：过点作于点，如图，
是的角平分线，
，
设，则，
设，则，，
，
，，，
，，
整理得：，
负数不合题意，舍去，
．
故答案为：．
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