专题二十九 二次函数的图象与参系数处理
核心考点一 确定系数系数符号,特征根、对称轴、利用对称轴消去的基本处理法
01.(2024外校改编)二次函数的图象如图所示,结合图象填空:
（1）∵a 0，b 0，c 0，∴abc 0
（2）当时,;
（3）时,___0,0;
（4）对称轴为直线,,;
（5）,由对称轴可消得,消得.
02.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝－1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a＋b＝0；
③4a－2b＋c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m－1时的函数值小于x＝n－1时的函数值．
其中正确结论的序号是 ．
核心考点二 含同一个参数的一次函数和抛物线图象辨别
03. 在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2－a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点三 顶点最值,和轴平行的直线与抛物线交点
04. 如图是函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），
对称轴为直线x＝1．则下列结论：
①b2＞4ac；
②当－1＜x＜3时，ax2＋bx＋c＞0；
③无论m为何实数，a＋b≥m（ma＋b）；
④若t为方程ax2＋bx＋c＋1＝0的一个根，则－1＜t＜3，
上述4个判断中，正确的是（ ）
A．① B．②④ C．①②③④ D．①②③
专题二十九 二次函数的图象与参系数处理
核心考点一 确定系数系数符号,特征根、对称轴、利用对称轴消去的基本处理法
01.(2024外校改编)二次函数的图象如图所示,结合图象填空:
（1）;
（2）当时,;
（3）时,__＞_0,0;
（4）对称轴为直线,,;
（5）,由对称轴可消得,消得.
02. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝－1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a＋b＝0；
③4a－2b＋c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m－1时的函数值小于x＝n－1时的函数值．
其中正确结论的序号是 ．
【思路点拔】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；
③根据抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝－1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），即可判断；
④根据m＞n＞0，得出m－1和n－1的大小及其与－1的关系，利用二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝－1，
即－＝－1，解得b＝2a，即2a－b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（－3，0），
∴当x＝－2时，y＞0，即4a－2b＋c＞0，
所以③正确；
∵m＞n＞0，
∴m－1＞n－1＞－1，
由x＞－1时，y随x的增大而减小知x＝m－1时的函数值小于x＝n－1时的函数值，故④正确；
故答案为③④．
核心考点二 含同一个参数的一次函数和抛物线图象辨别
03. 在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2－a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：A．
核心考点三 顶点最值,和轴平行的直线与抛物线交点
04. 如图是函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），
对称轴为直线x＝1．则下列结论：
①b2＞4ac；
②当－1＜x＜3时，ax2＋bx＋c＞0；
③无论m为何实数，a＋b≥m（ma＋b）；
④若t为方程ax2＋bx＋c＋1＝0的一个根，则－1＜t＜3，
上述4个判断中，正确的是（ ）
A．① B．②④ C．①②③④ D．①②③
【思路点拔】根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（3，0），得出另一个交点是（－1，0），由图象可知当－1＜x＜3时，y＞0，选项②正确；由图象x＝1时对应的函数值最大，得出a＋b＋c≥am2＋bm＋c，整理得出a＋b≥m（ma＋b），故选项③正确；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为直线x＝1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为－1，从而得到t＜－1或t＞3，选项④错误，即可得出正确的选项序号．
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为直线x＝1，
与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，
∴a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项①正确；
∵对称轴为直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（3，0），
∴另一个交点是（－1，0），
由图象可知当－1＜x＜3时，y＞0，
∴ax2＋bx＋c＞0，选项②正确；
∵当x＝1时，函数有最大值，
∴a＋b＋c≥am2＋bm＋c，
∴a＋b≥m（ma＋b），故选项③正确；
∵图象与x轴的一个交点为（3，0），（－1，0）
若t为方程ax2＋bx＋c＋1＝0的一个根，则t为抛物线与直线y＝－1的交点横坐标，
由图象可知t＜－1或t＞3，故选项④错误，
则正确的序号有①②③三个．
故选：D．
【点评】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．
