华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）
1. 是第_____________象限角，
2. 复数_____．
3. 函数的最大值是______.
4. 已知，且，则______．
5. 已知是实系数方程一个虚根，则______．
6. 已知等比数列满足，，则______．
7. 已知，则在上的数量投影是______．
8. 在中，，则______．
9. 已知复数z满足，则的最大值为___________.
10. 等差数列前项和分别是，若，则______．
11. 若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______．
12. 已知平面向量，，，，满足，，，则最大值为______.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. “”是“是纯虚数”（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
14. 若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
15. 在中，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 以上答案均不正确
16. 已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；
②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A. 命题①②都是真命题 B. 命题①②都是假命题
C. 命题①是真命题，命题②是假命题 D. 命题①是假命题，命题②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间.
（2）当时，求的最值.
18. 在数列中，已知．
（1）求的通项公式；
（2）计算：．
19. 在复数范围解方程．
（1）关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值；
（2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值．
20. 在中，，平面上点满足，，动点在线段上（不含端点）．
（1）设，用含有的式子表示；
（2）设，求的最小值；
（3）求的最小值．
21. 一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列．
（1）对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项；
（2）给出两条新定义：
①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期；
②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期．
对于5元置换，求的一个周期；
（3）王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？
华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷 答案
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）
【1题答案】
【答案】三
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】-2
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】7
【10题答案】
【答案】##0.4
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
【13题答案】
【答案】D
【14题答案】
【答案】C
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【17题答案】
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2.
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）
【19题答案】
【答案】（1）—1或3；
（2）
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）有办法，
