太原市2023-2024学年高一下学期7月期末学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午8：00—9：30）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分．
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（ ）
A. 总体 B. 样本 C. 样本量 D. 个体
2. 某公司有员工30名，其中包含经理一名、保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，拟采用以下两种方案：方案一，调查公司全部30名员工的工资情况；方案二，收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围，只调查其他28名员工的工资情况．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）
A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差
3. 已知平面，和直线，，若，，，则下列结论正确是（ ）
A. B. C. 与异面 D. 与无公共点
4. “幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
5. 某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
534 123 512 114 125 334 432 332 314 152
423 443 423 344 541 453 525 151 354 345
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（ ）
A. 0.24 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.76
6. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A. 甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B. 乙机床数据比甲机床数据更稳定
C. 甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D. 甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数
7. 已知，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
8. 已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 任何事件的概率总是在内
B. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率
C. 抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率
D. 随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率
10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与是互斥事件 B. 与是互斥事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件
11. 已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若，且，则
C 若，且，则
D 若，且，，则
12. 如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A. 的长是定值
B. 存在某个位置，使得
C. 存某个位置，使得平面平面
D. 当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积是
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 某校高一、高二、高三的学生人数比为，按年级分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，抽取了容量为56的样本，则高三年级应该抽取人数为_____________．
14. 投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________．
15. 甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为_____________．
16. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为_____________．
四、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中环数分别为：
甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8
乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9
（1）计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差；
（2）从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？
18. 甲、乙两歌迷进行听歌曲旋律猜歌名的游戏，已知甲猜出歌名的概率为0.8，乙猜出歌名的概率为0.6，甲和乙猜出与否互不影响．
（1）求甲、乙都猜出歌名的概率；
（2）求甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率．
19. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩；
（2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？
（3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率．
20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，．
（1）证明：平面；
（2）当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小．
太原市2023-2024学年高一下学期7月期末学业诊断
数学试卷 答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】AC
【12题答案】
【答案】ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】##
【16题答案】
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）甲的平均数为8.7，方差为0.81，乙的平均数为8.7，方差为0.41
（2）乙
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）
（3）
【20题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
