常州市北郊高级中学2023-2024学年高一下学期期末调研
数学试卷
（时间：120分钟 满分150分）
一、单选题
1. 已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（ ）
A. B. 3 C. 5 D. 9
2. 已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下面为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 对于空间中的直线，若，则
C. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则
D. 若，则
4. 若第三象限角，且，则（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 在中，，则中最小的边长为（ ）
A. B. C. D.
6. 从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A 1 B. 2 C. D.
8. 在某学校开展“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A. 甲组中位数为3，极差为5 B. 乙组平均数为2，众数为2
C. 丙组平均数为2，方差为3 D. 丁组平均数为2，第85百分位数为7
二、多选题
9. 已知甲组数据为1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为1，3，5，7，9，则（ ）
A. 这两组数据的第80百分位数相等
B. 这两组数据的极差相等
C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅乙组数据的均值不变
D. 甲组数据的方差比乙组数据的方差大
10. 如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面平面
11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A. 若，则事件与B相互独立
B. 若A与B相互独立，则
C. 若A与B互斥，则
D. 若B发生时A一定发生，则
三、填空题
12. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，1920支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
13. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲 乙两个圆锥侧面，甲 乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
14. 在中，内角所对的边分别为，满足，是边的中点，，且，则的长为__________．
四、解答题
15. 设函数，其中向量，（）.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域；
（3）在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值.
16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上.
（1）求证：平面；
（2）若，点E为的中点，求二面角的余弦值.
18. 某学校在端午节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．
（1）从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
（2）从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．
19. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
常州市北郊高级中学2023-2024学年高一下学期期末调研
数学试卷 答案
一、单选题
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、多选题
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】AB
三、填空题
【12题答案】
【答案】14
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1），
（2）晋级分数线划为78分合理
（3）90；38.75
【17题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）．
【19题答案】
【答案】（1）证明略；（2）①；②当点在的延长线上，且使时，平面.
