陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2．已知i为虚数单位，，则复数在复平面上对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知向量，，若，则( )
A. B. C.1 D.
4．已知数列的前n项和为，且等比数列满足，若，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5．著名的本福特定律:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数,也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”.意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是的概率为.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少 （参考数据:,）( )
A.2.9 B.3.8 C.4.5 D.6.5
6．直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7．某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是( )
A. B. C. D.
8．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
9．等差数列中的，是函数的极值点，则( )
A. B. C.3 D.
10．已知的展开式中的常数项为0，则( )
A.3 B. C.2 D.
11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
12．设，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知角，为锐角，且，，则角______.
14．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为______.
15．设x，y满足约束条件，设，则z的取值范围为______.
16．已知函数，若，，且，则的最小值为______.
三、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长.
18．为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束.否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功.
（Ⅰ）某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）为验证抽奖试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽奖试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
求y关于t的回归方程：，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）.
附：经验回归方程系数：，.
参考数据：，，（其中）.
19．如图所示，在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当k取何值时，二面角的余弦值为？
20．已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证直线过定点.
21．已知函数，.
（Ⅰ）若恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）证明.
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的斜率.
23．已知函数.
（Ⅰ）画出函数的图象；
（Ⅱ）设函数的最大值为m，若正实数a，b，c满足，求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，集合
，
则.
故选：B.
2．答案：D
解析：，若，则有且，解可得，则，其在复平面上对应的点为，在第四象限.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题意得，由，得，解得，所以，所以..
故选C
4．答案：A
解析：设等比数列的公比为q，则，所以，故选A.
5．答案：D
解析：根据题意,首位数字是1的概率,
首位数字是9的概率,
故.
故选:D.
6．答案：B
解析：直线与圆有公共点的充要条件满足：，
整理得，
故直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是：.
故选：B.
7．答案：C
解析：某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，
基本事件总数，
其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，
则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是：.
故选：C.
8．答案：D
解析：根据题意知所得多面体是棱长为 2 的正八面体，则正八面体的外接球直径为
，所以半径为，
所以正八面体的外接球体积为.
故选：D.
9．答案：A
解析：由题意可得，
因为，是函数的极值点，
所以，是的两个不等实数根，
所以，又因为数列为等差数列，
所以，
所以.
故选：A.
10．答案：C
解析：二项式定理的展开式的通项公式为，
令，得；，令，得.
因为的展开式中的常数项为0，
所以，解得，
故选C.
11．答案：C
解析：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，解得，，
设，在中由余弦定理得，
由，可得，化简得，
代入可得，
.
故选：C.
12．答案：B
解析：，，，，
令，则，当
时，，该函数单调递增，
，即，
故选：B.
13．答案：（或）
解析：角，为锐角，且，
，，，
，
解得，
角是锐角，角.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意，设该圆雉的底面半径为r，母线为l，高为h，
其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则有，变形可得，
则该圆雉的高，
又由圆锥的体积为，则有，
解可得，则，
故该圆雉的表面积.
故答案为：.
15．答案：
解析：根据题意，作出不等式组对应的平面区域
为图中的及其内部，但不包含边，其中，，
，
设，则，其几何意义为平面区域内任意一点与点连线的斜率，
设，则，，
则，则有，
又由，故，即z的取值范围为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，
所以，即为奇函数，，又在R上单调递增，
若，，且
所以，
所以，即，
所以，
则，
则
当且仅当，即时取等号。
故答案为：.
17．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）的面积：，的周长：12.
解析：（Ⅰ）由，得.
由余弦定理得：，.
（Ⅱ）方法一：因为，，由余弦定理得，
当且仅当时取等，，
所以的面积：，
此时的周长为：12.
方法二：
，，由正弦定理得，
的面积
，
，
又，，
当时，面积最大值为.
此时，，于是的周长为：12.
18．答案：（Ⅰ）分布列见解析，；
（Ⅱ）；465
解析：（Ⅰ）X的取值可能为1，2，3，
；；
；
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以数学期望为：.
（Ⅱ）令，则，由题意可知，，
所以.
所以，.
故所求的回归方程为
所以估计时，；估计时，；
估计时，；
预测成功的人的总数为.
19．答案：（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）证明：在中，点O、D分别是、的中点，
，平面，平面，
平面.
（Ⅱ）O为中点，连接，，则，
平面，平面，
，
以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
设，则，
，，
在中
，，
，，，，
则，，，
平面，平面，，
又且，平面，
是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量，
则即，
令，得，，
设为二面角的平面角.
则，解得.
方法二：作，又，，平面，
平面，，又，
是二面角的平面角.
设，由题意可知，
，，即为等腰三角形.
在中，作，则，
且，
在中，，则，
在中，根据余弦定理，
解得.
20．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明见解析.
解析：（Ⅰ）由题可得，即，，得.①
又，即，②
由①②可得，，
所以椭圆C的方程为：.
（Ⅱ）设，，，
由题知，直线上一点P作椭圆C的两条切线斜率存在，
设过点且与椭圆相切的直线方程为：，
联立方程得，
，
整理得，即，
在椭圆上，
，即，，
，即，
，解得，
（此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率）
过点且与椭圆相切的直线方程为：，
，即，
整理可得以M为切点的椭圆C的切线方程为，
同理，以N为切点的椭圆C的切线方程为，
（上述切线方程也可以尝试采用“构造缩放法”证明二级结论：过椭圆上点切线方程为：）
又两切线均过点P，故，且，
整理化简得，且，
点，均在直线上，
直线的方程为，直线过定点.
21．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明见解析
解析：（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，
，令，得，
由x，，列表如下
x a
0
极小值
，
只需证明，.
令，，得，
由x，，列表如下
x 1
0
极大值
.
又，，
，，
，故a的取值集合为.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，
即，，
（当时，“”成立），
令，
，则，，
由累加法可知
累加可得，
即，令，，
恒成立，在是递减的，，
，
，
22．答案：（Ⅰ）；；
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）曲线，即，即.
，即，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设m的方程为，
由得，
设，，则，.
，
，即，即，即，
直线m的斜率为.
另解：设直线m的方程为（t为参数），代入，
得，即，
，，
，
，，
从而，
从而直线m的斜率为.
23．答案：（Ⅰ）答案见解析；
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ），由此作图如下：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是，
由柯西不等式得，
，当且仅当，时，等号成立，
的最小值为.
