第7章《锐角三角函数》章节检测卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．tan45°＝（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系内有一点，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
4．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．至少一个角是60°的三角形
5．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，则tanB的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且cm，．点D从点O出发，沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为5的菱形中，对角线，于点E，与交于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．要使二次根式有意义，则的取值范围为______
12．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则sinB=______
13．比较大小：_________（选填“＞”、“＝”或“＜”）．
14．如图，在△中，，,.则边的长为___________.
15．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______．
16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2
17．如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值_____．
18．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时，_____．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算下列各题：
（1）； （2）．
20．（8分）如图，在中，于点，若．，，求的值．
21．（10分）如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．
(1) 求平行四边形的面积；
(2) 连接，求的值．
22．（10分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E．
求证：∠ACD＝∠ECD；
连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长．
24．（12分）如图，小松在斜坡坡脚处测得山坡对面一水泥厂烟囱顶点的仰角为67.5°，沿山坡向上走到处再测得烟囱顶点的仰角为53°．已知米，且、在同一条直线上，山坡坡度．
求小松所在位置点的铅直高度．
求水泥厂烟囱的高．（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，，，，，）
答案
一、单选题
1．A
【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．
解：tan45°＝1，
故选：A．
2．C
【分析】过P作PH⊥x轴于点H，由余弦的定义求解即可．
解：如图，作PH⊥x轴于点H，
∵
∴PH=4，OH=3，
又∵，
∴，
∴
故选：C．
3．A
解：过点P作PD⊥AB于点D，根据方位角可得：∠A=30°，∠B=45°，根据AP=80海里可得PD=40海里，PB=40海里，故选A．
4．D
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
5．A
【分析】设AB=k,则AC=2k,BC=k,根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．
解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BCk，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB2．
故选：A．
6．C
【分析】由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，AE=CE，DE是的高，根据锐角三角函数得，即可得，过点B作，交AC于点F，根据锐角三角函数得，即可得，用的面积减去的面积即可得．
解：由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，DE是的高，CD=DA=，
∴，
∴，
如图所示，过点B作，交AC于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7．D
【分析】根据∠A＝120°，得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，得出AD＝1，CD=，再根据，利用解直角三角形求出．
解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，
∴ ．
故选：D．
8．C
【分析】利用菱形的性质证得△AOB是等边三角形，得到OA=OB=8cm，∠OBA=60°，进而得到点D从点O出发以2cm/s的速度做环绕运动，16秒为一个循环，确定第85秒时点D在AB边上，且，过点D作DH⊥x轴于H，利用三角函数求出BH，得到第85秒时，点D的坐标．
解：∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC，
∵，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=8cm，∠OBA=60°，
∵，
∴点D从点O出发以2cm/s的速度做环绕运动，16秒为一个循环，
∵，
∴第85秒时点D在AB边上，且，
∴，
过点D作DH⊥x轴于H，
∴，
∴OH=8-3=5，
∴第85秒时，点D的坐标为，
故选：C．
9．C
【分析】设AC，DB相交于点O，根据菱形的性质可得，AB=AD=5，AB∥CD，从而得到OD=OB=3，∠ODF+∠DFC=90°，再由DE⊥CD，可得∠DFC=∠CDO，再利用锐角三角函数，即可求解．
解：如图，设AC，DB相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，边长为5，
∴，AB=AD=5，AB∥CD，
∴∠AOB=90°，
∴OD=OB=3，∠ODF+∠DFC=90°，
∵，
∴DE⊥CD，
∴∠ODF+∠CDO=90°，
∴∠DFC=∠CDO，
∵，
∴．
故选：C
10．D
【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．
解：连接BF，与AE相交于点G，如图，
∵将沿折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故选 D
二、填空题
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的取值范围．
解：二次根式被开方数为
∴
又∵
∴，解得
故答案为．
12．或
【分析】分∠C=90°或∠A=90°两种情况进行讨论，先根据已知条件，画出图形，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案．
解：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，如图所示：
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴sinB=；
在Rt△ABC中，当∠A=90°时，如图所示：
∵AC=3，BC=4，
∴sinB=；
综上分析可知，sinB=或sinB=．
故答案为：．
13．＜
【分析】根据特殊角锐角三角函数值计算，即可求解．
解：∵，且，
∴．
故答案为：＜
14．
【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
解：过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
15．1
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：
解：连接，
由网格可得 ，，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
故答案为1.
16．
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在 AFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是()
故答案为：
17．3
【分析】由tan∠AOD＝，可设AD＝3a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
解：∵tan∠AOD＝＝，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数 经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a＝ 或a＝0（舍），
∴D（2， ）
则k＝2×＝3．
故答案为3．
18．
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
三、解答题
19．（1）2 （2）
解：（1）
=
=+1+1
=2.
（2）
=
=.
20．
解：，
．
．
在中
，
21．
解：（1）∵，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴
∴．
（2）过E作，与的延长线交于点F．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，，又，
∴．
在中，．
在中，．
22．
解：（1）如图，过C作CH⊥AB于H，
设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC=
∴HB===x，
∵AH+HB=AB
∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5
根题意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
23．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE，
∴∠ACD=∠ECD；
（2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点．
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2，
∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD，
∴AD=2，
由（1）知四边形BCED是平行四边形，
∴AD=BC=DE=2，
∵OB=OD，OF⊥AD，
∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3，
∴OE=．
24．
（1）解：如图，过点D作DF⊥AB 交BA延长线于点F，
∵山坡坡度，
∴可设米，则米，
∵米，
∴，
解得：，
∴DF=10米，即小松所在位置点的铅直高度为10米；
（2）解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
根据题意得：∠ABC=90°，∠BAC=67.5°，∠CDE=53°，
∴∠ABC=∠BED=∠AFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE=BF，BE=DF=10米，由（1）得AF=24米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
由①②联立得：CE=84.5米，
∴BC=BE+CE=94.5米，
答：水泥厂烟囱的高为94.5米．
