5.4二次函数与一元二次方程
一．单选题
1．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝0
2．如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（ ）范围之间．
A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4
3．如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个同号不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根
D．无实数根
4．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．3≤t＜19 B．2≤t≤15 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
6．若二次函数y＝mx2﹣2x﹣1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
7．若函数y＝x2﹣3x+c的图象与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是 ．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
9．不论x取何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值永远是负值的条件是 ．
10．已知抛物线y＝x2﹣x+m﹣1恒在x轴上方，则m的取值范围是 ．
11．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为 ．
12．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解是 ．
13．函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是 ．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c分别交坐标轴于A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣3），则﹣3＜ax2+bx+c≤0的解是 ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B的中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C的中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题
16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数），
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图象经过点（0，﹣2），则k的取值范围是 ．
17．已知函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m（m为常数）．
（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；
（3）若直线y＝x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的最大值和最小值．
18．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D若m取，﹣，﹣5，﹣，﹣6，则m等于多少时，直线y＝2x+m与C1，C2共有3个不同的交点．
19．阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 …
其中m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当﹣1≤x＜1时，则y的取值范围为 ；
②直线y＝kx+b经过点（1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是 ．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
2．
【详解】解：观察表格可知：当x＝1.1时，y＝﹣0.49；当x＝1.2时，y＝0.04，
∴方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在范围是1.1＜x＜1.2．
故选：B．
3．
【详解】解：如图，由图象可知，抛物线与直线y＝﹣2有两个不同的交点，且横坐标为正数，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2，即方程ax2+bx+c+2＝0有两个不同的同号的实数根．
故选：A．
4．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得：b＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）化为x2＝t﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
∴t﹣3≥0时，＜4且﹣＞﹣1，
解得：3≤t＜19．
故选：A．
5．
【详解】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，结论②正确；
③∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴a+b+c＞3a+c，
∴3a+c＜0，结论③错误；
④∵当x＝﹣1时，y＞0，当x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，结论④正确；
⑤∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴2a﹣b＜0，
∵c＞0，
∴2a﹣b＜c，结论⑤正确；
综上，正确的结论有②④⑤共3个．
故选：C．
二．填空题
6．
【详解】解：∵二次函数y＝mx2﹣2x﹣1的图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+c的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线不过原点且与x轴有两个交点，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×c＞0，且c≠0，
解得：c＜且c≠0．
故答案为：c＜且c≠0．
8．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
9．【详解】解：∵无论x取何值时，二次函数y＝ax2+bx+c恒为负值，
∴二次函数开口向下，且与x轴无交点，
∴a＜0且Δ＝b2﹣4ac＜0．
故答案是：a＜0且Δ＝b2﹣4ac＜0．
10．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣x+m﹣1开口向上，恒在x轴上方，
∴抛物线与x轴无交点，即Δ＜0，
∴1﹣4×（m﹣1）＜0，
解得：m＞5．
故答案为：m＞5．
11．
【详解】解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣7，解得：m≤7，
∴m的最大值为7．
故答案为：7．
12．
【详解】解：关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（6，0），
∴一元二方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝6．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝6．
13．
【详解】解：∵函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），
∴0＝a×22﹣2a×2+m，化简得：m＝0，
∴y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
当y＝0时，x＝0或x＝2，
∵a＞0，
∴使函数值y＜0成立的x的取值范围是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
14．
【详解】解：∵A（﹣2，0）、B（6，0），
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴点C的对称点的坐标为（4，﹣3），
∴﹣3＜ax2+bx+c≤0的解集为﹣2≤x＜0或4＜x≤6．
故答案为：﹣2≤x＜0或4＜x≤6．
15．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y＝0时，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），
∴AB的长度为4，
如图，从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点，
根据中心对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C3，
则阴影部分转化为矩形，
根据对称性，可得BE＝CF＝4÷2＝2，∴EF＝8，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
∴阴影部分的高为4，S阴＝8×4＝32．
故答案为：32．
三．解答题
16．（1）证明：△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝4（m﹣）2+3，
∵4（m﹣）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：∵二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1﹣k，
把（0，﹣2）代入得m2+m﹣1﹣k＝﹣2，
∴k＝m2+m+1，配方得：k＝（m+）2+，
∵m＝﹣时，k有最小值，
∴k的范围为k≥．
故答案为：k≥．
17．（1）解：∵△＝（m﹣3）2+8m＝（m+1）2+8＞0，
∴该函数的图象与x轴的公共点的个数是2个；
（2）证明：∵y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m＝﹣（x﹣）2+，
∴该函数的图象的顶点为（2，），
∵y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2，
把x＝代入，得：y＝（+2）2+2
整理得：y＝+2＝，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；
（3）如图，过A作AC∥x轴，过B作BC∥y轴，则△ACB是等腰直角三角形，
设直线y＝x与y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），
联立方程有：得：x2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0，
∴x1+x2＝m﹣4，x1x2＝﹣2m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，＝（m﹣4）2﹣4（﹣2m）＝m2+16，
（也可用求根公式求得该式）
∴|AB|＝，
∵﹣4≤m≤2，
∴当m＝0时，|AB|有最小值为4，当m＝﹣4时，|AB|有最大值为8．
18．解：y＝﹣2x2+8x﹣6，令y＝0，则x＝1或3，
故点A、B的坐标分别为（1，0）、（3，0），则点D（5，0），
则抛物线C2的函数表达式为：y＝﹣2（x﹣3）（x﹣5）＝﹣2x2+16x﹣30，
如图，当直线y＝2x+m在l和n之间位置时，直线y＝2x+m与C1，C2共有3个不同的交点，
l：将直线y＝2x+m与抛物线C2联立并整理得：2x2﹣14x+30+m＝0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝142﹣4×2（30+m）＝0，解得：m＝﹣，
n：将点B的坐标代入y＝2x+m并解得：m＝﹣6，
∴﹣6＜m＜﹣，
∴m＝﹣．
故答案为：﹣．
19.解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×|﹣2|+1＝1，
∴m＝1．
故答案为：1；
（2）如图，利用平滑的曲线连接各点即可画出该函数的图象；
（3）①观察图象可知：当﹣1≤x＜1时，函数y的最大值为2，最小值为1，
∴y的取值范围为：1≤y≤2．
故答案为：1≤y≤2；
②∵关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，
∴直线y＝kx+b与函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象有四个交点，
∵直线y＝kx+b经过点（1，2），
∴直线y＝kx+b与y轴的交点在（0，1）和（0，2）之间，
∴b的取值范围是：1＜b＜2．
故答案为：1＜b＜2．
