专题三 三角函数与解三角形
——2025届高考数学考点剖析精创专题卷
考点08 任意角和弧度制及任意角的三角函数：1、2
考点09 三角函数的图象与性质：3、4、9、11、14、15、16
考点10 三角恒等变换：5、6、12
考点11 解三角形：7、8、10、13、17、18、19
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为( )
A.4 B.1 C. D.2
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的最小正周期为，则在的最小值为( )
A. B. C.0 D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列结论中不正确的是( )
A.为偶函数
B.
C.当时，在上恰有2个零点
D.若在上单调递减，则
5.已知，，则( )
A. B. C. D.3m
6.已知，均为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，则( )
A. B.3 C.6 D.
8.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有( )
A.的最小正周期为
B.的对称轴方程为
C.在上的值域为
D.的单调递增区间为
10.在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有( )
A.可能是等边三角形 B.可能是直角三角形
C.当时，的周长为15 D.当时，的面积为
11.函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A.的最小正周期是
B.图象的一个对称中心为
C.把函数的图象先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图象
D.的单调递增区间为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________.
13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则___________.
14.设，其中，.若对任意恒成立，则①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论正确的是__________.（写出所有正确结论的序号）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数.
（1）设，求函数在上的值域；
（2）若的最小正周期为，，且函数在上恰有3个零点，求a的取值范围.
16.已知函数的图像相邻对称中心之间的距离为.
（1）求的最小值，并求取得最小值时自变量x的集合；
（2）求函数在区间上的取值范围.
17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆半径为R，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求B；
（2）若的面积为，求c.
19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：圆心角为，设扇形的半径为R，
，
解得.
故选：D.
2.答案：B
解析：.
3.答案：A
解析：由的最小正周期为，可得，所以，所以.当时，，，所以，故选A.
4.答案：C
解析：依题意得，
由已知得，所以，，
所以，，，，
对于A，，且的定义域关于原点对称，所以为偶函数，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，当时，，，由，得，得，，，
因为，所以或或，则在上恰有3个零点，故C不正确；
对于D，由，，得，，
所以，，所以，所以，故D正确.
故选：C.
5.答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故选A.
6.答案：D
解析：解法一：因为，所以，所以，则，整理得，所以，又，均为锐角，所以，所以，故选D.
解法二：因为，所以，所以，所以，即，所以，又，均为锐角，所以，所以，故选D.
7.答案：B
解析：因为，而，所以，则，得.根据余弦定理可得，故.故选B.
8.答案：C
解析：在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由正弦定理得，.故选C.
9.答案：ACD
解析：对于函数，
由图可知，，
则，
所以，
又，
所以，
解得，，又，
所以;
则，
所以
，
对于A：的最小正周期为，A正确;
对于B：对于，令，，得的对称轴方程为，B错误;
对于C：当时，，所以，
即在上的值域为，C正确;
对于D：令，，解得，，
即的单调递增区间为，D正确;
故选：ACD.
10.答案：BCD
解析：由正弦定理得，对于A，因为，所以不可能是等边三角形，故A错误.对于B，若A是直角，则，所以存在可能是直角三角形，故B正确.对于C，若，则，，的周长为15，故C正确.对于D，，解得，，所以的面积，故D正确.
11.答案：ACD
解析：由题图得，，则且，A正确：
将点的坐标代人函数解析式可得，即，，则，.
因为，所以，因此，
，故点不是图象的对称中心，B错误；
的图象先向左平移个单位长度得到曲线，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，待到的图象，C正确；
今，，则，，所以，为的单调递增区间，D正确.
12.答案：
解析：由题知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.
13.答案：
解析：因为，所以由正弦定理得，所以，即，因为，所以，所以，又，所以.
14.答案：①③
解析：由对任意恒成立知，直线是图象的对称轴.又（其中）的最小正周期为，可看作的值加了个周期，.故①正确.
，，和与对称轴的距离相等.，故②不正确.
直线是函数图象的对称轴，
，，.
或，，，.
或.
既不是奇函数也不是偶函数，故③正确.
由上知的单调递增区间为，，的单调递增区间为，.
的解析式不确定，
单调递增区间不确定，故④不正确.
（其中），.
又，，.
，且，
过点的直线必与函数的图象相交，故⑤不正确.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1），由，得，
当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.
所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值1，
因此函数在上的值域为.
（2）由题意可知的最小正周期，因此.
所以.
由，得，
由于在上恰有3个零点，因此.
解得，即a的取值范围是.
16.答案：（1）的最小值为，此时自变量x的集合为；
（2）
解析：（1）因为，
由题意得，的最小正周期为，所以，得，所以，
当，时，即，时，取最小值
故取得最小值时自变量x的集合为；
（2）由，得，
结合正弦函数的图像，得，
所以函数在区间上的取值范围为.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
结合正弦定理，
得，
化简得，
故.
又，所以，
因此.
（2）由（1）知，，
则，
由正弦定理得，
令，则，，
则，解得，
因此的周长为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理得，
又，.
，，
又，.
（2）由（1）得，
由正弦定理，得，.
的面积，得.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）解法一：由，得，
所以.
因为，所以，
所以，故.
解法二：由，得，
两边同时平方，得，
则，
整理，得，
所以，则.
因为，所以或.
当时，成立，符合条件；
当时，不成立，不符合条件.故.
解法三：由，得，
两边同时平方，得，
则，
整理，得，
所以，则.
因为，所以.
（2）由，得，
由正弦定理，得，所以，
因为，所以.
，
所以.
解法一：由正弦定理，得，
.
所以的周长为.
解法二：由正弦定理，得，
所以，
所以的周长为.
