专题二 函数与导数
——2025届高考数学考点剖析精创专题卷
考点04 函数及其性质：1、2、10、13、15
考点05 指数、对数、幂函数：3、4、9、16、17
考点06 函数的应用：5、6、12
考点07 导数及其应用：7、8、11、14、18、19
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，函数若，则a的值为( )
A.3 B.1 C.-4 D.2
2.已知函数在R上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系内，将函数，的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得新函数的图象恒过定点( )
A. B. C. D.
4.设，，，则a，b，c的大小关系为( ).
A. B. C. D.
5.我国的5G通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式，其中W是信道带宽，S是信道内所传信号的平均功率（W），N是信道内部的高斯噪声功率（W），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至，使得C大约增加了，则的值大约为（参考数据：）( )
A.1559 B.3943 C.1579 D.2512
6.已知函数函数.若函数有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.若对任意的，且，，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象恒过定点
B.函数在上单调递减
C.函数在上的最小值为0
D.若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是
10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：圆O的圆心在原点，若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”.下列说法正确的有( )
A.对于圆O，其“太极函数”只有1个
B.函数是圆O的一个“太极函数”
C.函数是圆O的“太极函数”
D.函数是圆O的一个“太极函数”
11.设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设，对于任意实数x，记，若至少有3个零点，则实数a的取值范围为__________.
13.已知函数的定义域为R，其图象关于直线对称，且，在上单调递减，则在上的所有整数解的和为___________.
14.已知则使恒成立的m的范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且.
（1）求的值，并证明：当时，.
（2）判断并证明的单调性.
（3）若，求不等式的解集.
16.已知幂函数在上为减函数.
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
17.已知函数，.
（1）若是偶函数，求实数a的值及函数的值域；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
18.已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
19.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意，可得，则，解得.
2.答案：D
解析：因为函数为奇函数，所以.由，得.又函数在R上单调递减，所以，解得.
3.答案：A
解析：方法一：将函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，再向上平移1个单位长度，得到的图象，即.令，得，，故的图象恒过定点.
方法二：因为（，），令，得，，所以的图象过定点.将点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，所以的图象恒过定点.
4.答案：D
解析：因为，所以，因为，所以.
因为，所以，所以.
5.答案：C
解析：由题意得，则，，.故选C.
6.答案：B
解析：如图，当时，函数与的图象有1个交点.
要使有3个零点，则当时，与的图象有两个交点即可，若，则当时，，两函数图象没有交点，所以.
画出，的大致图象，如图所示，
由图象可知，函数，的图象在内至多有一个交点.
若函数与的图象在上有两个交点，则在上没有交点，
即直线与曲线在上有两个交点，且函数，的图象在上没有交点，即方程在上有两个解，且在上没有解.
设，需满足且，解得；
若在上函数与的图象只有1个交点，则在上函数与的图象有1个交点，即在上只有1个解，且在上只有1个解，又，则且，此时无解.
综上，要使函数与图象在上只有两个交点，则.
7.答案：A
解析：令，则，所以在R上单调递增.
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.故选A.
8.答案：D
解析：由题可知，，因为，且，
所以，
两边同时除以得，即.
设函数，其中，
因为当时，，所以在上单调递减，因为，令，得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以.故选D.
9.答案：ACD
解析：
A √ ，所以的图象恒过定点.
B × 当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增.
C √ 当时，，所以.
D √ 因为对任意，恒成立，且，所以，得.
10.答案：BD
解析：对于A选项，圆O的“太极函数”不止1个，故A错误；
对于B选项，函数当时，，当时，，
故为奇函数，画出函数的简图如图所示，可知函数为圆O的一个“太极函数”，故B正确；
对于C选项，函数的定义域为R，，也是奇函数，画出函数的简图如图所示，当且仅当函数图象与圆O只有两个交点时，为圆O的一个“太极函数”，故C错误；
对于D选项，函数的定义域为R，，故为奇函数，，，在上均单调递增，所以在R上单调递增，画出函数的简图如图所示，可知函数是圆O的一个“太极函数”，故D正确.
故选BD.
11.答案：AD
解析：由题可知，.
对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；
对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；
对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.
解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.
12.答案：
解析：令，则关于x的方程的判别式.
（1）当时，函数无零点，从而不可能有3个及以上的零点.
（2）当时，或，
①当时，，如图1，有2个零点，不符合要求；
②当时，有3个零点，如图2，符合要求.
（3）当时，或，
①当时，函数图象的对称轴为直线，函数和的图象如图3，若至少有3个零点，则，即，所以；
②当时，函数图象的对称轴为直线，此时只有2个零点.综上所述，.
13.答案：6
解析：因为函数的定义域为R，且，所以函数的图象关于点对称，且.由在上单调递减，且的图象关于点和直线对称，可画出在上的大致图象，如图所示，可得在上单调递减，在上单调递增.由对称性可得，所以在上的所有整数解为1，2，3，其和为.
14.答案：
解析：因，令，，依题意，，，当时，，求导得，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值;当时，，求导得，在上单调递减，，于是得函数在上单调递减，，因此，则，所以m的取值范围是.故答案为:.
15.答案：（1），证明见解析
（2）在R上单调递减.证明见解析
（3）
解析：（1）令，则，又，所以.
当时，，所以.
又，
所以，即.
（2）在R上单调递减.证明如下：
设，则
.
又，所以，所以.
又当时，，当时，，，所以恒成立，
即，所以，即，
所以在R上单调递减.
（3）因为，所以，
所以，即.
又在R上单调递减，所以，解得，
所以不等式的解集为.
16.答案：（1）
（2）奇函数，其单调减区间为，
解析：（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
17.答案：（1）；函数的值域是
（2）
解析：（1）若是偶函数，则，
即，
则，
即恒成立，所以.
经验证，时，为R上的偶函数，符合题意.
因为，所以，
故函数的值域是.
（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，
所以在上单调递增，且时，，
所以解得.
故实数a的取值范围是.
18.答案：（1）-2
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）的定义域为，
若，则，，
当时，，，则，
故a的最小值为-2.
（2）
，
故曲线关于点中心对称.
（3）由题知，
此时，
.
记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，，在上单调递增，
又，故符合题意.
当时，，，
令，得，
因为，所以，故，，
所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.
综上，b的取值范围为.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，则，
则.
，所以切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）易知函数的定义域为R，.
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的极小值为.
由题意知，等价于.
解法一：令，
则，
所以函数在上单调递减，
又，故当时，；当时，.
故实数a的取值范围为.
解法二：由，得.
如图为函数与在区间上的大致图象，
由图易知当时，，即.
所以实数a的取值范围为.
