(共51张PPT)
2025高考数学一轮复习-11.2-对数函数的图象与性质
激 活 思 维
【解析】
C
根据f(2)＜1，f(3)＞1，可知y＝ln x满足．
【解析】
B
【解析】
D
4．已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则 ( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B
【解析】
方法一：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log0.2x，y＝log0.3x，y＝log0.4x的图象，由图象可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c.
5．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为 ( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】
A
对数函数的图象及其性质
聚 焦 知 识
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：_____________值域：_____ (0，＋∞)
R
(1，0)
x轴
增大
增函数
减函数
(1) 已知a＞0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为 ( )
对数函数图象的应用
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】D
由函数y＝ax的图象可得a＞1.当a＞1时，y＝logax经过定点(1，0)，为增函数．因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1，0)，为减函数．
而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0，0)，为减函数．
【解析】
1
A
变式 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)＞0的解集是 ( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．
B
【解析】
不等式f(x)＞0 log2(x＋1)＞|x|，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，由图象可知log2(x＋1)＞|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)＞0的解集是(0，1).
对数函数性质的应用
【解析】
B
2-1
(2) 已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【解析】
C
2-1
a＝log30.5＜log31＝0，即a＜0；b＝log3π＞log33＝1，即b＞1；0＝log41＜log43＜log44＝1，即0＜c＜1，所以a＜c＜b.
【解析】
2-2
视角2 解对数不等式
【解析】
2-3
视角3 对数函数性质的综合应用
C
【解析】
2-3
【解答】
反函数
新视角
3
(2) 若x1满足2x＝5－x，x2满足x＋log2x＝5，则x1＋x2＝ ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3
【解析】
D
变式 (1) 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝ ( )
A
【解析】
因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
变式 (2) 若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m＋n的值为 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B
【解析】
随 堂 练习
【解析】
D
2．函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
【解析】
【答案】A
当a＞1时，函数y＝logax的图象为B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B，D中的图象都不符合要求；
当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有A中的图象符合要求．
3．已知函数f(x)＝log0.5(－x2＋ax＋b)的单调递增区间是[2，3)，则f(2)＝ ( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
C
【解析】
4．已知a＞0且a≠1，若函数y＝loga(4－ax)在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(1，2] D．(1，4)
B
【解析】
因为y＝4－ax在[1，2]上是减函数，y＝loga(4－ax)在[1，2]上是减函数，所以a＞1.又4－2a＞0，所以a＜2.综上所述，1＜a＜2.
配套精练
【解析】
A
【解析】
【答案】B
故a＝0.
3．已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a＞0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．(1，3] B．(1，3)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
A
【解析】
令t(x)＝6－ax，因为a＞0，所以t(x)＝6－ax为减函数.
4．已知x1是方程x·3x＝4的根，x2是方程x·log3x＝4的根，则x1x2＝ ( )
A．16 B．8
C．6 D．4
【解析】
【答案】D
二、 多项选择题
5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋log2(x－1)，则 ( )
A．f(x)的定义域为(1，＋∞)
B．f(x)的单调递减区间为(－∞，0]
C．f(x)是增函数
D．f(x)的值域为R
【解析】
对于C，因为函数y＝x2－1在(1，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)＝log2(x＋1)＋log2(x－1)＝log2(x2－1)在(1，＋∞)上为增函数，故函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，无单调递减区间，故C正确；
对于D，f(x)＝log2(x＋1)＋log2(x－1)＝log2(x2－1)在(1，＋∞)上为增函数， 真数能取遍所有大于0的数，故值域为R，故D正确．
【答案】ACD
【解析】
【答案】ABD
【解析】
8．已知x1，x2分别是方程ex＋x－2＝0，ln x＋x－2＝0的根，则x1＋x2＝_____．
2
【解析】
由题意可得x1是函数y＝ex的图象与直线y＝－x＋2交点A的横坐标，x2是函数y＝ln x的图象与直线y＝－x＋2交点B的横坐标.
【解析】
因为f(x)＝|log2x|，所以f(x)的图象如图所示.
4
【解答】
【解答】
11．已知函数f(x)＝log2(ax2＋2ax＋4)，g(x)＝log2x.
(1) 若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
【解答】
由题意，函数f(x)＝log2(ax2＋2ax＋4)，要使得函数f(x)的定义域为R，即ax2＋2ax＋4＞0在R上恒成立．
综上可得，实数a的取值范围为[0，4).
11．已知函数f(x)＝log2(ax2＋2ax＋4)，g(x)＝log2x.
(2) 在(1)的条件下， x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】
x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)＋2恒成立，即log2(ax2＋2ax＋4)≥log2x＋2恒成立，即不等式log2(ax2＋2ax＋4)≥log2(4x) 在a∈[0，4)和x∈(0，＋∞)上恒成立，即不等式ax2＋(2a－4)x＋4≥0在a∈[0，4)和x∈(0，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝ax2＋(2a－4)x＋4，a∈[0，4).若a＝0，则不等式h(x)＝－4x＋4≥0，显然不能恒成立；
【解析】
函数y＝x2－2x＋2的对称轴为x＝1，且f(1)＝1，f(0)＝f(2)＝2.又因为值域为[1，2]，由单调性可知A，B符合；C，D的值域为[1，5].
AB
【解析】
【答案】BD
【解答】
14．已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(2) 当a＜0时，求关于x的不等式f(x)＞0的解集．
【解答】
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-11.2-对数函数的图象与性质-专项训练
1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（ ）
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
2.函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数f（x）＝｜lg x｜，若a＝f，b＝f，c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
4.函数f（x）＝log2·log4（4x2）的最小值为（ ）
A.－ B.－2
C.－ D.0
5.（多选）函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a＞1 B.0＜c＜1
C.0＜a＜1 D.c＞1
6.（多选）已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的最大值为0 D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增
7.若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为 .
8.写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝ .
①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减.
9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝lg（3x＋1）－1，则不等式f（x）＞0的解集为 .
10.设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.
（1）求实数a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间［0，］上的最大值.
11.若函数f（x）＝loga（x2＋x）（a＞0，且a≠1）在区间内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞） B.（2，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（，＋∞）
12.（多选）已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（ ）
A.f（x）在（0，2）上单调递增 B.f（x）在（0，2）上的最大值为0
C.f（x）的图象关于直线x＝1对称 D.f（x）的图象关于点（1，0）对称
13.已知f（x）＝的值域为R， 那么实数a的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a＞0且a≠1.
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围.
15.已知函数f（x）＝log2（＋a）.
（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.
参考答案与解析
1.D 存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“ x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.
2.B 对于A， x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.
3.A 若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
4.B 方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1） （－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.
5.C 法一 因为xy≠0，且＋＝－2 x2＋y2＝－2xy x2＋y2＋2xy＝0 （x＋y）2＝0 x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.
法二 充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2.
必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.
6.AB 由≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.
7.AD A、B选项，p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.
8.假 解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以 p为假命题.
9.－1（答案不唯一） 解析：由于当x＞0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋＝－2.
10.（－∞，－2] 解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
11.D 改写为 ， 改写为 ，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“ x∈R， n∈N*，都有n＞x2”.
12.C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
13.ABD 对于A选项，若xc2＞yc2 ，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由＜＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0（因为x，y的正负不确定），所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.
14. （，＋∞） 解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝；若A是B的充分不必要条件，则A B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞}，故＜2，即b＞，故b的取值范围是（，＋∞）.
15.（－∞，0） 解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，
则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.
1.A 由题意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f（x）＝log2x.
2.C 函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域满足即.
3.C ∵a＝＝｜－lg 4｜＝lg 4，b＝＝｜－lg 2｜＝lg 2，c＝｜lg 3｜＝lg 3，且f（x）＝lg x在（0，＋∞）上是增函数，∴lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C.
4.A 由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），所以f（x）＝（－2＋log2x）（1＋log2x）＝（log2x）2－log2x－2＝－≥－.当x＝时，函数取得最小值.故选A.
5.BC 由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga（x＋c）＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.
6.BC 函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－x）＝log2（1－｜－x｜）＝log2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝log2（1－｜x｜）为偶函数，所以A错误，B正确；根据f（x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x）≤log21＝0，故C正确.
7.（1，4） 解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点（1，4）.
8.lox（答案不唯一） 解析：由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，f（x）在定义域（0，＋∞）上为减函数，故f（x）可以为lox.
9.（－∞，－3）∪（3，＋∞） 解析：当x≥0时，由f（x）＝lg（3x＋1）－1＞0，得x＞3.
又因为函数f（x）为偶函数，所以不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）.
10.解：（1）∵f（1）＝2，∴loga4＝2.又a＞0，且a≠1，∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.
（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）＝log2[（1＋x）·（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；
当x∈（1，］时，f（x）单调递减，故函数f（x）在［0，］上的最大值是f（1）＝log24＝2.
11.A 令M＝x2＋x，当x∈（，＋∞）时，M∈（1，＋∞），恒有f（x）＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝（x＋）2－，所以M的单调递增区间为（－，＋∞）.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.
12.BC f（x）＝ln x＋ln（2－x），定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x），令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈（0，2）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故A不正确；f（x）max＝f（1）＝0，故B正确；∵f（1＋x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），f（1－x）＝ln（1－x）＋ln（1＋x），∴f（1＋x）＝f（1－x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确.
13.［－，） 解析：要使函数f（x）的值域为R，则必须满足即所以－≤a＜.
14.解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：
因为f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），
所以
解得－1＜x＜1，f（x）的定义域为（－1，1）.
f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）＝－[loga（1＋x）－loga（－x＋1）]＝－f（x），
故f（x）是奇函数.
（2）因为当a＞1时，y＝loga（x＋1）是增函数，
y＝loga（1－x）是减函数，
所以当a＞1时，f（x）在定义域（－1，1）内是增函数，
f（x）＞0即loga（x＋1）－loga（1－x）＞0，
loga＞0，＞1，＞0，
2x（1－x）＞0，解得0＜x＜1，
故使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）.
15.解：（1）若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，
∴log2（1＋a）＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数.
∴a＝0.
（2）由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1＋a），
最小值是f（1）＝log2（＋a）.
由题设得log2（1＋a）－log2（＋a）≥2，
则log2（1＋a）≥log2（4a＋2）.
∴解得－＜a≤－.
故实数a的取值范围是（－，－］.
