2023-2024学年息县第二高级中学联考高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
2.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知由小到大排列的个样本数据的极差是，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若圆被直线平分，则( )
A. B. C. D.
5.已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在处的切线为轴 B. 是上的减函数
C. 为的极值点 D. 最小值为
10.已知事件与发生的概率分别为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数在处取到极大值，则以下结论正确的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知编号为，，的三个盒子，其中号盒子内装有两个号球，一个号球和一个号球；号盒子内装有两个号球，一个号球；号盒子内装有三个号球，两个号球若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到号球的概率为 ．
13.如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 ．
14.已知随机变是服从正态分布，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过分钟常规赛和分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出人进行次罚球作为轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢次点球作为轮罚球，前轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的方取得胜利现有甲乙两队每支队伍各名球员已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的名球员在点球时罚进球的概率均为．
求第轮罚球结束时甲队获胜的概率；
已知甲乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上．
19.本小题分
已知函数．
若方程有两解，求实数的取值范围；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：连接，交于点，连接，
四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面．
由知：平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离；
三棱柱为直三棱柱，为等边三角形，，
，，，，，
；
，，
；
设点到平面的距离为，
则，解得：，
点到平面的距离为．
16.解：因为切点为，
所以，解得．
由，得，
因为 直线与曲线相切于点，
所以，解得，
所以，
由，得．
所以函数的解析式为：．
由知，，
所以，．
可得，
令，则，解得舍，．
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，取的极小值，极小值为，
又因为，
所以当时，的最大值为，最小值为．
17.解：第轮罚球结束时甲队获胜，则甲队前轮进球，乙队前轮未进球，
所以第轮罚球结束时甲队获胜的概率为．
甲乙两队的点球大战已经进入第二阶段，每一轮罚球甲队进球乙队未进球的概率为，甲乙两队均进球的概率为，甲乙两队均未进球的概率为．
设事件为“第二阶段的第轮罚球结束时甲队获胜”，则第二阶段的前轮罚球甲乙两队的进球数相等，第轮罚球为甲队进球乙队未进球，
所以．
由题意得的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为
所以．
18.解：如图所示：
根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上，
所以，得，
则，
解得，所以椭圆的标准方程为．
解法一非对称韦达：
由题意如图所示：
设点，可设直线的方程为：，
联立，得，
由根与系数的 关系，，
直线的方程：，
直线的方程：，
得，
因为，
所以，解得，
因此，点在定直线上
解法二齐次化：
由题意如图所示：
设不过点的直线的方程为：，
由于直线过，所以．
设，点．
椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得，
，即，
即，由根与系数的关系，，
又由题意可得：，所以两式相除得：，
即，解得，
所以点在定直线上
19.解：由，得，即，
令，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，当时，，
，
因为方程有两解，即有两个零点，
所以的取值范围是．
对任意的，不等式恒成立，
在上恒成立，
令，则，
令，则，
在上为增函数，
又，
，使得，即，
时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
，
由，可得，
令，则，
又在上单调递增，
，
，
．
综上所述，满足条件的实数的取值范围是．
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