重庆市七校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数满足,则复数z的虚部为( )
A. B. C. D.
2．已知向量,满足,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若，，，则边( )
A. B.或 C.或 D.
5．科技是一个国家强盛之根,创新是一个民族进步之魂,科技创新铸就国之重器,极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器,2022年5月,“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测,最高升空至9050米,超过珠穆朗玛峰,创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录,彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米,高18米,若将它近似看作一个半球,一个圆柱和一个圆台的组合体,轴截面图如图2所示,则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为( )
A. B. C D.
6．如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是( )
A.四边形是矩形 B.四边形是正方形
C. D.平面平面
7．对一个样本容量为100的数据分组,各组的频数如表：
区间
频数 1 1 3 3 18 16 28 30
估计小于29的数据大约占总体的( )
A. B. C. D.
8．一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率为,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,在菱形中,,延长边至点E,使得.动点P从点A出发,沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点,若,则( )
A.满足的点P有且只有一个 B.满足的点P有两个
C.存在最小值 D.不存在最大值
10．如图,AC为圆锥SO底面圆O的直径,点B是圆O上异于A,C的点,,则下列结论正确的是( )
A.圆锥SO的侧面积为
B.三棱锥体积的最大值为
C.的取值范围是
D.若,E为线段AB上的动点,则的最小值为
11．一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件.则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.事件B与事件相互独立 D.，，是两两互斥的事件
三、填空题
12．设复数、,满足,,则____________．
13．若一组数据,,,的方差是5,则数据,,,的方差是____________．
14．已知平面向量,,满足,,且,则的最大值为_____________.
四、解答题
15．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
16．某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异,底部周长在为三类树,底部周长在为二类树,底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况,随机测量其中100株树木的底部周长（单位：）,数据均落在之间,按照,,,,分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该片经济林中二类树约占多少;
（2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替,试估计该经济林中树木的平均底部周长．
17．在中,,,设O为外接圆的圆心.
（1）求,;
（2）若,设,求x,y的值.
18．如图1,在直角梯形中,,,,M是的中点,与交于O点,将沿向上折起,得到图2的四棱锥.
（1）证明：平面;
（2）若,求二面角的正切值.
19．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求C;
（2）若,点M,N是边AB上的两个动点,当时,求面积的取值范围;
（3）若点M,N是直线AB上的两个动点,记,,.若恒成立,求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由,得,
所以复数z的虚部为.
故选：C.
2．答案：C
解析：,,
,.
又,.
故选：C.
3．答案：B
解析：由题当时,,
或,
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：C
解析：因为，，，由余弦定理可得，
即，即，解得或.
故选：C.
5．答案：A
解析：根据题意,该组合体的直观图如图所示：
半球的半径为9米,圆柱的底面半径为9米,母线长为14米,
圆台的两底面半径分别为9米和1米,高为30米.
则,,
,
所以.
故选：A.
6．答案：A
解析：在矩形中，
因为点E，H分别为，的中点，
所以，.
同理可得在矩形中，，.
所以，，
所以四边形是平行四边形.
在长方体中，
有平面，又，
所以平面，又平面，
所以，所以四边形是矩形，故选项A正确.
因为根据题中条件无法判断EH，EF的长度是否相等，
所以四边形不一定是正方形，故选项B错误.
假设，则由，知，
连接，点E，F分别为，的中点，
所以，所以，与和为相交直线矛盾，
故假设不成立，故选项C错误.
因为和为相交直线，
所以平面与平面不平行，故选项D错误.
故选A.
7．答案：C
解析：由表格可以看出,样本在区间上的数据个数为个数据,
样本容量为100,样本在区间上的频率为,
则估计小于29的数据大约占总体的,
故选：C．
8．答案：B
解析：设A与B中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为R,
则,所以灯亮的概率为,
故选：B.
9．答案：BC
解析：建立如图所示的平面直角坐标系,设菱形的边长为1,,
则,,,,
所以,,,
由,得,
所以,所以,
①当点P在上时,,且,
所以;
②当点P在（不含点B）上时,则,所以,化简,
所以,
因为,所以,即;
③当点P在（不含点C）上时,,且,
所以,即,所以;
④当点P在（不含点A、D）上时,则,所以,化简,
所以,
因为,所以,所以;
对于A,由①知,当时,,此时点P与点B重合;
由④可知当时,,,此时点P在的中点处;
其它均不可能,所以这样的点P有两个,所以A错误,
对于B,由②知,当时,,,此时点P在的中点;
由③知,当时,,,此时点P点D处;
其它均不可能,所以这样的点有两个,所以B正确,
对于CD,由①②③④可得：
当,即点P为点A时,取到最小值0;
当,即点P为点C时,取到最大值3,所以C正确,D错误,
故选：BC.
10．答案：BD
解析：由已知,圆锥侧面积为,A错;
B在圆周上,易得,．B正确;
,又中,,所以,
所以．C错;
时,把和摊平,如图,
的最小值是,此时,,,,
,D正确．
故选：BD．
11．答案：ABD
解析：因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，
则，，，
乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品，
则，，
则，故A，B正确；
因为，
又，，
则，则两事件不相互独立，
故C错误；
根据互斥事件的定义可知，，，是两两互斥的事件，
故D正确，
故选：ABD.
12．答案：1
解析：设,,
因为,则,
又因为,
所以,,即,
由,可得,
故,解得,
由,可得,
所以,,所以,.
故答案为：1.
13．答案：45
解析：若数据,,,的方差为,
则数据,,,的方差为,
所以当数据,,,的方差是5时,
可得数据,,,的方差是,
故答案为：45.
14．答案：
解析：由题意可设：,,,
则,,
若,即,则,
可知点C在以为直径的圆上,即圆心为,半径,
则在方向上的投影数量的最大值为,
所以的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为；
（2）
解析：（1）依题意记甲队总得分为1分为事件A，甲队总得分为2分为事件B，
则，
，
所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为；
（2）依题意甲队总得分为0分的概率为，
得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为；
乙队总得分为0分的概率为，得1分的概率为，
得2分的概率为，得3分的概率为；
则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由频率分布直方图可得,
所以,解得．
因为底部周长在为二类树,
所以由图可得,．
答：该片经济林中二类树木约占．
（2）由题意可得,
答：估计该经济林中树木的平均底部周长为．
17．答案：（1）,;
（2）,.
解析：（1）如图,由于O为外接圆的圆心,
所以
设,的中点分别为D,E,连接,,则,,
故
同理可得.
（2）由（1）可得,
即,解得,.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在题干图1中连接,如图,
由已知得,,M是CD的中点,
,,
四边形是平行四边形,,
同理,四边形是平行四边形,
又,且,四边形是正方形,,
所以在题干图2中,,,
又,,平面,
平面,又,
平面.
（2）因为在正方形中,,
,又,是等边三角形,
在题干图2中,过作于点H,则H为中点,
过H作交延长线于点Q,连接,如图,
平面,平面,,
又,,,平面,
平面,又平面,,
又,,,平面,
平面,又平面,,
为二面角的平面角,
在等边中,,则,
又点H为的中点,,易得,
又,可得,
在中,,
所以二面角的正切值为.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）由,可得.
因为,所以.因为,所以.
由,可得,即,所以.
由正弦定理可得,则,
可得,
则或(舍去),所以,.
（2）设,在中,由正弦定理得,
所以.
在中,由正弦定理得,
所以.
的面积
.
因为,所以,,,
故面积的取值范围为.
（3）因为,
所以,
则,
即.
由题意,是定值,所以是定值,
所以
因为,为的内角,所以,.
故的值为.
