四川省名校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列几何体中,不是旋转体的是( )
A. B. C. D.
2．若,则( )
A. B. C. D.
3．如图所示,在平行四边形OABC中,,,则它的直观图面积是( )
A. B.2 C. D.
4．某花农连续8天采摘的栀子花重量7.2,7.4,8.7,8.1,8.9,8.4,8.6,8.9（单位:斤）,则这组数据的第75百分位数为( )
A.8.9 B.8.8 C.8.7 D.8.6
5．四边形中ABCD中,,则下列结论中错误的是( )
A.一定成立 B.一定成立
C.一定成立 D.一定成立
6．某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件“出现的点数为奇数”,“出现的点数不大于3”,事件“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是( )
A.A与B互为对立事件 B.
C. D.
7．已知,是不共线的向量,且,,,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
8．在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,,,,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
A.,
B.,,,
C.,
D.,,,
二、多项选择题
9．小刘一周总开支分布如图①所示,该周的食品开支如图②所示,则以下说法正确的是( )
A.娱乐开支金额为100元
B.日常开支比食品中的肉类开支多100元
C.娱乐开支比通信开支多5元
D.肉类开支占储蓄开支的
10．设,是复数,则下列说法正确是( )
A.若,则
B.设,互为共轭复数,则.
C.若,则
D.复数在复平面内对应的点位于第四象限
11．已知平面,,,直线m,l,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,,则
C.若,,则
D.若,,则
12．据统计,从1932年至1990年,历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动,打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具:测角仪 米尺 量角器.下面是四个小组设计的测量方案,其中可能测量出大佛高度的方案有( )
A.把两只佛脚底部看作M,N两点,分别测量佛顶的仰角,和的距离
B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为,再面对大佛前行S米,测得佛顶的仰角为
C.高为h的同学站在佛脚平台上,在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角,
D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角,,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部的张角
三、填空题
13．某校围棋社团 舞蹈社团 美术社团和篮球社团的学生人数分别为,现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动,则美术社团中选出的学生人数为__________.
14．甲 乙两人进行投篮比赛,甲投篮命中概率为0.5,乙投篮命中的概率为0.6,且两人投篮是否命中相互没有影响,则两人各投篮一次,至多一人命中的概率是__________.
15．已知向量,在正方形网格中的位置如图所示,为单位正交基底,则最小值是__________.
16．已知直四棱柱的棱长均相等,且,以为球心,为半径的球面与侧面的交线为半圆,且长为,则该四棱柱的体积为__________.
四、解答题
17．已知平面向量,,.
（1）若,求实数t的值;
（2）若与的夹角为,求实数t的值.
18．为了丰富校园文化生活,培养学生的兴趣爱好,提高学生的综合素质,某中学举办了学校社团活动,开设的项目有4个运动类社团（篮球社 足球社 乒乓球社 羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社 美术社）,一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动.
（1）求抽取的2个项目都是运动类社团的概率;
（2）若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个,求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率.
19．已知四棱锥中,,,,,且,,M是PC中点.
（1）求证:平面PAD;
（2）求三棱锥的体积.
20．某电力公司需要了解用户的用电情况（单位:度）.现随机抽取了该片区100户进行调查,将数据分成6组:,,,,,,并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.
（1）求a;
（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替,估算该片区住户平均用电量;
（3）每户用电量不超过m度的电费是0.5元/度,超出m度的部分按1元/度收取,若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度,则m至少应为多少（为整数）
21．如图,在四边形中,是边长为2的正三角形,,.现将沿边折起,使得平面平面,点E是的中点.
(1)求证：平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
22．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,点P为的费马点,且.
（1）求A;
（2）若,求的值;
（3）若,求实数t的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由旋转体的概念可知,选项ACD为旋转体,选项B不算旋转体.
故选:B.
2．答案：A
解析：由复数,可得.
故选:A.
3．答案：C
解析：设原图的面积为,直观图的面积为,则,.
故选:C
4．答案：B
解析：将数据从小到大排列为:,
,故第75百分位数为,
故选:B
5．答案：D
解析：由可知四边形ABCD为平行四边形,显然AC正确,
根据平行四边形法则,B也是正确的,而,故D错误.
故选:D
6．答案：C
解析：抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数构成的样本空间为,
则,
对于A,事件A,B可同时发生,故不是对立事件,A错误,
对于B,,,,故B错误,
对于C,,C正确,
对于D,,,D错误,
故选:C
7．答案：B
解析：因为向量,是不共线的向量,且,,,
对于A中,设,即,
可得,此时方程组无解,所以A,B,C三点不共线,所以A不正确;
对于B中,设,且,可得,
可得,解得,所以A,B,D三点共线,所以B正确;
对于C中,设,且,可得,
可得,此时方程组无解,所以A,C,D三点不共线,所以C不正确;
对于D中,设,可得,
可得,此时方程组无解,所以B,C,D三点不共线,所以D不正确.
故选:B.
8．答案：A
解析：对于A,,
;
对于B,,
;
对于C,,
;
对于D,,
;
因此,A选项的方差最大,即A选项的标准差最大.
故选:A
9．答案：ABD
解析：由图2可知食品的开支为元,由图1可知食品开支为30%,所以总开支为元,
娱乐开支为元,故A正确;
日常开支元,肉类为100元,日常开支比肉类开支多元,故B正确;
通信开支为元,娱乐开支比通信开支多50元,故C错误;
储蓄开支为元,肉类开支占储蓄开支的,故D正确.
故选:ABD
10．答案：BC
解析：对于A中,例如:,而,所以A不正确;
对于B中,若,互为共轭复数,设,则,
可得,所以B正确;
对于C中,设,可得,
可得,所以,
则,所以,所以C正确;
对于D中,例如,,可得,
此时复数在复平面对应的点位于第二象限,所以D错误.
故选:BC.
11．答案：BD
解析：选项A:若,,,则或m与l异面,A说法错误;
选项B:若,,,,则由平面与平面垂直的性质可得,B说法正确;
选项C:若,,则,可能平行,相交或垂直,C说法错误;
选项D:若,,则在内可找到l的平行线使得,所以由可得,D说法正确;
故选:BD
12．答案：BCD
解析：对于A:如果M,N两点与佛像底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A不正确．
对于B:
在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为,再面对大佛前行米,测得佛顶的仰角为,佛像高度为CD,
在中,,
在中,,
所以,即,佛像高度,故B正确;
对于C:如下图,
在中由正弦定理求AD,则佛像的高,故C正确;
对于D:如下图,
在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角,,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部的张角,
在直角三角形ADC,BDC中用CD来表示AC,BC,在中由余弦定理就可以计算出佛像高度CD,故D正确;
故选:BCD.
13．答案：4
解析：美术社团中选出的学生人数为,
故答案为:4
14．答案：0.7
解析：两人各投篮一次,两人均投中的概率为,
因此至多一人命中的概率是,
故答案为:0.7
15．答案：或
解析：由图可知,
则,
化简得,,即.
故答案为:.
16．答案：
解析：由题意得,连接,
因为直四棱柱的棱长均相等,所以为等边三角形,
取的中点M,连接,则⊥,
又⊥平面,平面,所以⊥,
因为,,平面,所以⊥平面,
设直四棱柱的棱长为2m,则,
由勾股定理得,
以M为圆心,r为半径作圆,
以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为半圆,故,
故,解得,
此时,即,
解得,由于,故符合题意,
此时,该四棱柱的棱长为2,
故体积为;
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,,可得,
由得,解得
（2）,故,
解得
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）从6个社团任意抽取2个,所有的基本事件有
(篮球,足球),(篮球,兵兵),(篮球,羽毛),(篮球,音乐),(篮球,美术),
(足球,兵兵),(足球,羽毛),(足球,音乐),(足球,美术),
(兵兵,羽毛),(兵兵,美术),(兵兵,音乐),
(羽毛,音乐),(羽毛,美术),(音乐,美术)共计15种情况,
抽取的2个项目都是运动类社团有(篮球,足球),(篮球,兵兵),(篮球,羽毛),
(足球,兵兵),(足球,羽毛),(兵兵,羽毛)共有6种情况,
故抽取的2个项目都是运动类社团的概率为.
（2）从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个,(篮球,音乐),(篮球,美术),
(足球,音乐),(足球,美术),(兵兵,美术),(兵兵,音乐),
(羽毛,音乐),(羽毛,美术)共计8种情况,
这2个社团不包括篮球社但包括音乐社有(足球,音乐)(兵兵,音乐),(羽毛,音乐),共计3种情况,故所求概率为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取PD的中点N,连接MN,AN,,
因为M为PC的中点．所以,且,
因为,且,所以,且,
所以四边形ABMN为平行四边形,
所以,又因为平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD;
.
（2）由于,,,
故,
又,,AD,平面ABCD
故平面ABCD,
.
20．答案：（1）0.0003
（2）220
（3）306.25
解析：（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得,
,
解得.
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式得
平均值为.
（3）由题意,第一组的频率为0.13,
第二组频率为0.32,
第三组频率为0.34,
所以m在第四组之间,m为第80百分位数,
即,
解得.
故m至少应为306.25.
21．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,
又因为平面,所以,因为E为中点,为正三角形,所以,
又因为,平面,,所以平面.
（2）设A点到平面的距离为d,与平面所成的角为,
由（1）可知,,由题意可知,,,
则,,
由得,
所以,即与平面所成的角的正弦值为.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知可得,
即,
所以,整理得,
所以由正弦定理可得,
所以.
（2）由（1）可得,所以三个内角A,B,C都小于,
则由费马点的定义可知,
设,,,
由得,
整理得,
所以.
（3）由费马点的定义可知,
设,,,m,n,,
则由得,,
由余弦定理可得,
,
,
所以由得,
即,
又因为m,,所以,
当且仅当结合解得时等号成立,
又,,所以,解得或（舍去）,
所以t的最小值为.
