湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．样本数据1，3，5，1，9，5，6，11，8的中位数是( )
A.5 B.5.5 C.6 D.7
2．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3．已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为，则其体积为( )
A. B. C. D.
4．已知函数，则“在R上单调递增”的充要条件是( )
A. B. C. D.
5．在中，，P为线段的中点，若，则的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6．已知在中，，，且的面积为，则( )
A.2 B. C. D.4
7．已知，，，则( )
A. B. C. D.
8．若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数z满足，则( )
A. B.
C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.是纯虚数
10．已知函数，则下列结论正确是( )
A.的最大值与最小值之差为1
B.在区间上单调递增
C.的图象关于点中心对称
D.若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数
11．已知三棱柱的底面是正三角形，D是棱的中点，，，，H是棱上的动点，E，F是棱上的动点，且，则( )
A.平面 B.
C.该三棱柱的外接球的体积为 D.三棱锥的体积恒为
三、填空题
12．已知非零向量，，若，则实数__________.
13．袋子中装有6个质地 大小均相同的球，其中有3个红球 2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为__________.
14．记为a，b，c中最小的数.已知，且，则的最大值为__________.
四、解答题
15．甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：
甲击中的环数 9 7 10 8 10 8 9 10 10
乙击中的环数 10 10 8 9 9 9 6 10 9
（1）求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差；
（2）用甲 乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲 乙每次射击相互独立，求甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.
16．已知数列是递增数列，其前n项和满足.
（1）证明：是等差数列；
（2）记，数列的前n项和为，求.
17．如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，，，M为棱中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．已知椭圆的离心率为，左 右顶点分别为A，B，且C过点.
（1）求C的方程；
（2）若M，N为C上与点A，B均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为k和.
（i）若（O为坐标原点），判断直线和的位置关系；
（ii）证明：直线经过x轴上的定点.
19．已知函数.
（1）若，求曲线在点处切线方程；
（2）若的极大值为，求a的取值范围；
参考答案
1．答案：A
解析：将1，3，5，1，9，5，6，11，8从小到大排列为：1，1，3，5，5，6，8，9，11，这9个数的中位数为5.
故选：A.
2．答案：D
解析：由不等式，
得，解得，
所以，
又，
所以，
故选：D.
3．答案：A
解析：由已知可设圆柱底面半径为r，
由圆柱的轴截面为正方形可知圆柱的高，
所以圆柱的表面积，
所以，
则体积，
故选：A.
4．答案：B
解析：“在R上单调递增”当且仅当，即当且仅当，
换言之，“在R上单调递增”的充要条件是.
故选：B.
5．答案：C
解析：
由已知，则，
又P为线段的中点，
所以，
所以，
即，，
所以，
故选：C.
6．答案：D
解析：由已知的面积，
则，
又，且，
所以，，
由余弦定理可得，
即，
故选：D.
7．答案：B
解析：由，
又，且，
所以，
又，
所以，
故选：B.
8．答案：C
解析：如图所示，画出在的图象，
也画出的草图，
函数与的图象有且仅有4个交点，
则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可.
满足，解得.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：由，
得，
设，则，
所以，
所以，解得，
即，A选项错误；
则，B选项正确；
且复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，C选项正确；
为纯虚数，D选项正确；
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：
.
则函数，，之差为1，则A正确.
，，，则区间上有增有减，则B错误.
将代入解析式得，，则不是对称中心，则C错误.
将的图象向左平移个单位长度得到.
则，则是偶函数，则D正确.
故选：AD
11．答案：ABD
解析：如图所示，
由已知三棱柱的底面是正三角形，，且D是棱的中点，
则，又，，
，，
又，且平面，
平面，故A选项正确；
又平面，
所以，
又由正三角形可知，，平面，
则平面，
又平面，
所以，B选项正确；
所以该三棱柱为正三棱柱，则其外接球球心O为中点，
又，则，，
所以，
外接球体积，C选项错误；
又正三棱柱可知平面，即平面，
所以H到平面的距离，
且，
所以三棱锥体积，D选项正确；
故选：ABD.
12．答案：1
解析：由已知，，
则，
又，
所以，
又，即
所以，
故答案为：1.
13．答案：
解析：设3个红球分别为：，，，2个绿球分别为：，，一个蓝球为：，
则从袋子中随机一次取出2个球，样本空间为：
，共15个基本事件；
事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有：
，共11个基本事件；
故所求概率为：.
故答案为：.
14．答案：
解析：设，
则，即，，，
三式累加可得：，所以.
取，，，显然满足且此时
所以
故答案为：
15．答案：（1），；
（2）
解析：（1）由已知，
；
（2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为7，8，9，10，且概率分别为，，，；
乙第十次射击击中环数可能为6，8，9，10，且概率分别为，，，；
又甲前九次击中总环数为环，乙前九次击中总环数为环，
所以若甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等，
则第十次射击甲击中的环数需比乙少1环，
概率.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）当时，，解得，
当时，，则，
即，即
又数列为递增数列，
所以，故，
即，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
所以，
则
.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：设，因为和均为等腰直角三角形，且，，可得，，
如图所示，取的中点D，连接，，
因为M为的中点，所以，且，
又因为，所以，
因为为等腰直角三角形，，所以且，
所以是二面角的平面角，
又由，所以，所以，
所以平面平面.
（2）由（1）知，，两两垂直，故以D为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，所以，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
又由平面的一个法向量为，可得，
设二面角的平面角的大小为，即，
所以，即二面角的正弦值为.
18．答案：（1）；
（2）（i）垂直；（ii）证明见解析
解析：（1）由已知设椭圆方程为，
又椭圆离心率为，即，
所以椭圆方程为，
又椭圆过点，
所以，则，，
所以椭圆方程为；
（2）（i）设，则，
又，，
因为，所以，
即，
解得，则，
即，，
所以，
即直线和垂直；
（ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立，
所以直线与x轴不平行，设，且，，
联立直线与椭圆，
得，，
则，，
又，即，
即，
即，
化简可得，
则或，
又当时，，，
又因为直线不过A，B点，所以，所以，无解，
综上所述，，直线方程为，
所以恒过x轴上定点.
19．答案：（1）；
（2）；
解析：（1）我们有.
当时，.
所以曲线在点处的切线斜率为0，从而切线方程是.
（2）若，则对有，对有.
从而在上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，对有.
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，从而在R上递增，故没有极大值，不满足条件；
若，则对有，对有.
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，不满足条件.
综上，a的取值范围是.
