9.4.2 矩形的判定
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OC B．AB＝CD C．∠BCD＝90° D．AD//BC
2．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．90° B．ACBD C．AC＝BD D．
3．小刚和小东在做一道习题，若四边形是平行四边形，请补充条件，使得四边形是矩形．小刚补充的条件是：；小东补充的条件是：．你认为下列说法正确的是（ ）
A．小刚和小东都正确 B．仅小刚正确
C．仅小东正确 D．小刚和小东都错误
二、填空题
4．如图，在中，对角线、相交于点，若再补充一个条件能使它成为矩形，则这个条件可以是______（只填一个条件即可）．
5．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为点E，若BE=OE=1 cm，则∠AOB=______，S矩形ABCD=_______．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于__．
7．如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为_________．
8．定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”．已知在“等腰四边形”中，，且为“界线”，则的度数为________
三、解答题
9．如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，，求证：四边形是矩形
10．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
11．如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E．求证：四边形是矩形．
12．如图，在中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，当______时，是矩形．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
（1）求∠CFD的度数；
（2）求证：四边形FDEC是矩形．
14．如图，在中，是上的一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
15．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
16．如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
17．如图，在ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB'C．
（1）求证：以A，C，D，B' 为顶点的四边形是矩形；
（2）若四边形ABCD的面积为12平方厘米，求翻转后重叠部分的面积，即△ACE的面积．
18．定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，是“等距四边形”的是 ．（填序号）
（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，在菱形ABCD的边上取点F，顺次连接B、E、D、F，使四边形BEDF为“等距四边形”，说明理由，并求线段EF的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
答案
一、单选题
1．B
【解析】
解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵AO＝OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO，
∴∠CBO＝∠ADO，
∵∠COB＝∠DOA，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选：B．
2．B
【解析】
解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B、不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、由平行四边形ABCD中AB∥CD，可得∠DCB＋∠ADC＝180°，又∠ADC ＝∠DCB，得出∠DCB＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．A
【解析】
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．故小刚正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，故小东正确．
故选：A．
二、填空题
4．AC＝BD（答案不唯一）
【解析】
解：若使 ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
5． 60° 4
【解析】
∵BE=OE=1cm，AE⊥BD，
∴OB=2cm， AE是BO的垂直平分线，
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，
∴AO=BO=AB=2cm，
∴△ABO是等边三角形，∠AOB=60°，
由勾股定理得：AE=（cm），
∴（），
根据三角形等底等高面积相等，则矩形ABCD的面积=4=4（），
故答案为：60°，4．
6．4.8
【解析】
解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
7．3
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°-∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴②正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE，∴③正确；
∴正确结论的个数为3，
故答案为：3．
8．60°或90°或150°
【解析】
∵在“等腰四边形”中，，且为“界线”，
①如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC，
∴△ABC是正三角形，
∴=∠BAC=∠BCA=60°；
②如图2，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴=90°；
③如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE，
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE，
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°，∠CBF=60°，
∴=60°+90°=150°．
综上所述：的度数为60°或90°或150°．
故答案是：60°或90°或150°．
三、解答题
9．
证明：∵四边形 是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形是矩形．
10．
证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ, ∠ACP=∠NAC，
∠MAC+∠ACP=1800，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=∠MAC,∠DCA=∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=∠ACP,∠DAC=∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAC=∠MAC，∠BCA=∠ACP，∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
11．
证明：∵平分平分，
∴．
∴
．
在中，
∵，为的平分线，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
12．
(1)
解：∵于，
∴．
∵在中，为的中点，
∴，同理．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴，
同理在中，．
∵在中，，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
(2)
连接EF，则EF=AB=CD=2，
若四边形GEHF是矩形，则EF=GH=2，
在Rt AGD和Rt CHB中，
，
AGD CHB（AAS)，
∴DG=BH；
∴DG -GH=BH -GH，
即BG=DH，
设BG=DH=x，在Rt△ABG中，
AG2=AB2-BG2=4-x2，
在Rt△AGD中，
AG2=AD2-DG2=9-DG2=9－（2+x）2，
∴4-x2=9-(2+x)2，
解得x= ，
∴BD=BG+GH+HD=+2+ ．
13．
解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DF是∠ADC的角平分线，
∴DF⊥AC．
∴∠CFD＝90°；
（2）证明：如图，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴BD＝CD，
∵DE是∠BDC的角平分线，
∴DE⊥BC．
∴∠DEC＝90°，
∵∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
14．
解：（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中点．
（2）四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF=DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形．
15．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB=90°，
∵AE=3，DE=4，DF=5，
∴AD=，
∴AD=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
16．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
17．
（1）在ABCD中，
AB//CD，AB=CD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°
又△ABC沿AC翻转得到△，
∴=AB，∠=90°，
∴点B，A， 三点共线，
∴//CD，=CD，
∴四边形是平行四边形，
又∠=90°，
∴是矩形．
（2）在ABCD中，，
又△ABC沿AC翻转得到△，
∴，
又四边形是矩形，
∴E点是AD的中点，
∴．
18．
解：（1）“等距四边形”的是②、④；
①平行四边形对角线互相平分，OA=OC=，OB=OD=，但OA=OC≠，∴①不是“等距四边形”；
②矩形对角线互相平分且相等，即OA=OB=OC=OD==，∴②是“等距四边形”；
③菱形对角线互相平分， OA=OC=，OB=OD=，但OA=OC≠，∴③不是“等距四边形”；
④正方形对角线互相平分且相等，即OA=OB=OC=OD==，∴④是“等距四边形”；
故答案为②、④；
（2）①过点D作DF⊥AB于F，则四边形BEDF为“等距四边形”，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，即DE∥FB，
∵BE⊥CD，DF⊥AB，
∴DF∥EB，∠DEB=90°
∴四边形BEDF为矩形；
∴对角线互相平分，
∴四边形BEDF为“等距四边形”，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°BE⊥CD于点E，
∴BC=DC=AB=4，∠C=∠A=60°，
∴∠EBC=90°-∠C=30°，
∴EC=，
在Rt△BCE中BE=，
∴DE=CD -CE=4-2=2，FB=DE=2，
在Rt△FBE中，EF=．
②过B作BF⊥AD于F，则四边形BEDF为“等距四边形”，
∵BE⊥DC，
∴△DFB，△DEB均为直角三角形，
∵四边形ABCD为菱形，AD =DC
∴S菱形ABCD=,
∴BF=BE
在Rt△DFB和Rt△DEB中
∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL）
∴DF=DE，
取BD中点G，连接GE，GF，
∴GE=GF=GD=GB，
∴四边形BEDF为“等距四边形”
∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，
∴BC=DC=AB=4，∠C=∠A=60°，
∴△ABD与△DCB均为等边三角形，
∴BD=AB=4
∴∠EBC=90°-∠C=30°，
∴EC=，
∴DE=DF=CD -CE=4-2=2
在Rt△BCE中BE=，
∴S四边形DFBE=2S△DEB=2×，
∴；
∴EF的长为4或．
19．(1)
解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，
则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝t；
(2)
解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，
∴，
∵AE＝t，DF＝t，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(3)
解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，
理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝AC＝6cm，
∵，
∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，
解得，t＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．
