2023-2024学年长春市慧谷学校九年级（下）第三次月考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是( )
A. B. C. D.
2.在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是( )
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 过一点可以作无数条直线
3.如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图
中的度数为( )
A. B. C. D.
6.某种风筝如图所示，这个风筝骨架如图所示，其中于点，，与的夹角为，则该骨架中的长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，直线交于点连结，再按如图所示作射线，交于点，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
8.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示则正确的是( )
A. 函数解析式为
B. 容器内气体的质量是
C. 当时，
D. 当时，
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： ______．
10.在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为______．
11.学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为米，方差分别为，，则身高较整齐的球队为______队填“甲”或“乙”．
12.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为______．
13.年旅游业迎来强势复苏某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图所示的“”型圆弧堤坝若堤坝的宽度忽略不计，图中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为______米结果保留
14.如图，矩形中，，，正方形的三个顶点，，分别在矩形的边、，上，点在矩形内部，连接，，现给出以下结论：
当时，；
当时，；
当，，三点共线时，：：；
点到的距离为定值．
其中正确的是______写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
今年五一期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市为长春市、白山市、延吉市，为了民主起见，旅游城市由抽卡片决定现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着长春市、白山市、延吉市三个城市的名字依次记作，，，卡片除正面姓名不同外，其余均相同三张卡片正面向下洗匀后，小明从中随机抽取一张卡片，记录城市名字后正面向下放回，洗匀后妈妈再从中随机抽取一张卡片请用画树状图或列表的方法，求小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率．
17.本小题分
近年来，新能源汽车深受人们的喜爱．某店上周销售型新能源汽车辆，销售型新能源汽车辆，销售额为万元；本周销售型新能源汽车辆，销售型新能源汽车辆，销售额为万元，这两周这两款型号的新能源汽车销售单价不变，求出每辆型车和型车的售价各为多少万元？
18.本小题分
如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交延长线于点．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．
19.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为，线段和的端点都在格点上在给定的网格中按要求画图，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹．
在图中画，点在格点上．
在图中作点关于的对称点，点在格点上．
在图中作点关于对称点，点不在格点上．
20.本小题分
在某校科技文化节系列活动中，举办了“魅力几何，勾勒未来”的竞赛活动现从甲班和乙班各随机抽取名学生统计这部分学生的竞赛成绩满分，并对数据成绩讲行了收集、整理，分析其中成绩大于等于的视为优秀．
【收集数据】
甲班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，
乙班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，
【整理数据】
班级
甲班
乙班
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 优秀率
甲班
乙班
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______， ______， ______；
请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由；
甲班有学生人，乙班有学生人估计这两个班被评为优秀的总人数是多少？
21.本小题分
某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间分钟变化的函数图象．
求该图象的函数表达式；
若食物在及以上的温度中烤制分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由．
22.本小题分
【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，是等腰直角三角形，，点在以为圆心，长为半径的圆上运动连结，将线段绕点逆时针旋转，连结当点在上运动一周时，探究点的运动路径．
【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图，通过证明≌，可以确定点的运动路径为点为圆心，长为半径的圆，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：、当点不在直线上时，如图，由旋转，得，．
证明过程缺失
、当点在直线上时，
．
综上，点的运动路径为点为圆心，长为半径的圆、
【问题延伸】如图，是等腰直角三角形，，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连结，以为斜边作等腰直角三角形，使点始终在的上方，连结当点在上运动一周，且时，点的运动路径长为______
【能力提升】如图，连结图中的，分别取、的中点、，连结，其它条件不变，当点在直线上方，，且时，直线写出线段的长．
23.本小题分
如图，是等边三角形，点从点出发，沿折线运动当点不与点重合时，连结，以为边向其右侧作等腰三角形，使，延长交边于点，当点与点重合，点停止运动，连结
．
当点在边上运动时，的长为______．
如图，当点在边上时，求证：．
点在整个运动过程中，当是轴对称图形时，求的长．
点在整个运动过程中，当时，直接写出的长
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，直线与轴交于点点、是该抛物线上的两个点，点的横坐标为．
求该抛物线的顶点坐标．
当点在轴上，且点是该抛物线的顶点时，求的长．
当点在直线的右侧，点到直线的距离是点的纵坐标时，若点、点之间的部分的图象包括点、点的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值．
过点作于点，过点作轴于点，连结、，当、、三点共线，且的周长是的周长的倍时，直接写出的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.甲
12.
13.
14.
15.解：
，
当时，原式．
16.解：画树状图如图所示：
共有种等可能的结果，其中小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的情况数为种，
所以小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率．
17.解：设每辆型车的售价为万元，型车的售价为万元，
依题意得：，
解得：，
答：每辆型车的售价为万元，型车的售价为万元．
18.证明：，，
，四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为．
19.解：如图，直线即为所求．
如图，点即为所求．
如图，连接并延长，交格点于点，过点作的平行线，再过点作的垂线，交于点，
则点即为所求．
20.，，；
甲班成绩比较好，理由如下：
甲、乙两个班的平均数相同，而中位数、众数以及优秀率均高于乙班，所以甲班成绩比较好；
人，
答：估计这两个班被评为优秀的总人数是人．
21.解：设函数表达式为，
当时，将，代入得：
，
解得，
；
当时，将，代入得：
，
解得，
；
；
在中，令得，
在中，令得，
，
该模式下烤制的食物能健康食用．
22.【问题解决】如图，由旋转，得，，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
≌，
；
【问题延伸】；
【能力提升】连接，，如图，
，
，
，是中点，
，，，
同理：，，
，，，
∽，
，
，
、、三点共线，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
．
23.等腰三角形，，
，
是等边三角形，
，，
，
平分，
，
，
．
，，
．
如图，当时．
，
，
为等边三角形，
，
，
．
如图，，
故当有任意两边相等时，
为等边三角形，
，
则与重合．
如图所示：
则．
综上所述，或．
如图，当此时时，过作．
，
，
，
，
．
如图，当此时时，
把绕点逆时针旋转得，连、，
过作，交延长线于．
，，．
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
．
综上所述，或．
24.解：，
抛物线的顶点为；
令，则，
解得或，
或；
点的坐标为，
当时，；
当时，；
；
由可知，抛物线的对称轴为直线：；
当时，最高点为，最低点是；
，
舍；
当最高点为时，最低点是，
，
解得舍或；
当时，
为最高点，为最低点时，，
解得舍或；
为最高点，为最低点时，，方程无解；
综上，的值为或；
根据题意画出图形，如图，如图：
由可知，，如图或如图，
于点，于点，
，
，
∽，
的周长是的周长的倍，
：：：，
即，，
如图，，，
，
，即，
，
，
点在抛物线上，
，
解得或舍．
如图，，，
，
，即，
，
，
点在抛物线上，
，
解得舍或．
综上，的值为或．
第1页，共1页
