人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ）
x
A． B． C． D．
5．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．比较二次函数与的图象，则（ ）
A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
7．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（ ）
A． B． C． D．无法判断
8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
9．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的对称轴是直线，且过点．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”）
12．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）米关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是 米．
13．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“＜”连接）
14．如图，抛物线与直线相交于点．过抛物线顶点作轴交于点，则 ．
15．无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
16．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
17．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
18．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为
19．已知抛物线．若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上的两点，则的最小值 ．
20．二次函数的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是： ．
三、解答题（共60分）
21．已知二次函数的图像以为顶点，且过点．
(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
22．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标．
23．已知二次函数（为常数，且）.
(1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
(2)若点，在函数图象上，比较与的大小；
24．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
25．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
26．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
27．如图，已知二次函数经过点和点，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．
()
()
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次函数顶点的求法，将二次函数化为顶点式的形式，顶点为，据此接可求解；掌握求法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
顶点为，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上，排除B选项和C选项，根据A选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向上，排除D选项，即可得出A为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上，
∴可以排除B选项和C选项；
A选项和D选项中，抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴抛物线开口向上，可以排除D选项，
故选A．
3．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位，
得：．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解．
【详解】解：∵当时，；
当时，；
∴方程的一个解的范围是
故选：C
5．C
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合．
求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断．
【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为，
根据图象夹角为，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可；
【详解】解：∵二次函数与，
∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为；
函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为；
故选项B、D错误，选项C正确；
∵二次函数中的，中的，
∴它们的开口大小不一样，故选项A错误；
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据题意求出、的值比较即可．
【详解】解：将、代入抛物线，
，
，
故选C．
8．A
【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判定式子符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向判定A；根据二次函数图象的对称轴为直线，可判定B；根据当时，，可判定C；根据二次函数图象与x轴有两个交点，可得出，可判定D．
【详解】解：∵函数图象的开口向上，
∴，故A选正确，不符合题意；
∵函数图象与x轴交于两点，，
∴函数图象的对称轴为直线，
∴，
∴，故B选错误，符合题意；
当时，，
∴，故C选正确，不符合题意；
∵函数图象与x轴交于两点，
∴，故D选正确，不符合题意；
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴计算公式和抛物线经过点得到，，则，再由开口向下得到，则，据此可判断①；根据时，即可判断②；根据时，即可判断③；根据即可判断④；根据根与系数的关系得到，，据此可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且经过点，
∴，，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∴且，故①错误，
∵抛物线对称轴为直线，且经过，
∴抛物线经过，
∴时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，
∴时，，
∴，
∵，
∴，即，故③错误，
∵，，
∴，故④正确，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴方程的两个根分别为，
∴， ，
∴，故⑤错误，
∴正确的个数为2个．
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据开口方向和与y轴交点的位置可得a、c的符号，进而可得答案．
【详解】解：∵函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故答案为：；
12．1200
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．将写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意得，
，
即当秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为1200米．
故答案为：1200．
13．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
而点离对称轴最近，点离对称轴最远，
，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查二次函数的顶点式，正比例函数的定义，先将抛物线解析式化为顶点式，求出点P的坐标，进而得到点B的坐标，即可解答．
【详解】解：，
，
轴交于点，
点B 的横坐标为1，则，
，
，
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为，利用m有无数个解得到，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：
，
∵无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点
∴当，即时，m可以任意实数，
此时，
即无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点．
故答案为：
16．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围．
由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可．
【详解】解：由得：，
∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，
∵两图像交于，两点，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
18．
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程．
【详解】解：如图所示，
∵二次函数，
∴当时，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，
即直线的函数解析式为，
∵，点在抛物线上且在第一象限，
∴设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
∴点横坐标最大值是，
∴点经过的路程为：，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得为抛物线的顶点，可求出a的值，再求出函数解析式，A、B是抛物线上的点，分别用含m的式子表示出n和p，进而求出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴是抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵是这条抛物线上的两点，
∴，，
∴
，
∴当时，由最小值，最小值为，
故答案为：．
20．②③④
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．
①由图象开口及与轴的交点可判断的符号，再根据对称轴判断的符号即可；
②由抛物线的对称轴可推出的关系；
③由图象与轴有两个交点即可判断；
④由图象与的一个交点及对称轴可推出图象与的另一个交点即可得出结论．
【详解】解：图象开口向上
图象与轴的交点在负半轴
抛物线的对称轴是直线
，故①不正确；
抛物线的对称轴是直线
，故②正确；
图象与轴有两个交点
，故③正确；
图象与轴的一个交点坐标为，且对称轴为
图象与轴的另一个交点坐标为
时，
，故④正确．
故答案为：②③④．
21．(1)与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为
(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可得出二次函数解析式；通过解方程可得抛物线与轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与轴的交点坐标；
（2）由于抛物线与轴的交点坐标为，把点向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，
则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，
则抛物线与轴的交点坐标为；
（2）解：因为抛物线与轴的交点坐标为，
所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
22．(1)二次函数解析式为，顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在．
【详解】（1）解：∵当和时，，
∴设二次函数，
∵时，，
∴代入得：，即，
解得：，
∴二次函数解析式为，即，
∴，，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和，
∴，
∵，
∴点到的距离，
∴点的纵坐标为或，
∵点为抛物线上一点，
∴当点的纵坐标为时，，即，
解得：，
∴点的坐标为或；
∵二次函数解析式为，顶点坐标为，
当点的纵坐标为时的情况不存在；
综上所述，点的坐标为或．
23．(1)见解析
(2)当或时，；当时，；当时，．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
（1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可．
【详解】（1）证明：令，即，
或，
∴，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
24．(1)点A的坐标是，
(2)点B的坐标为
【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可；
（2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标．
【详解】（1）由，
得当时，，
所以点A的坐标是，
设顶点为的抛物线的解析式为，
点在抛物线上，，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）联立，
得：，，
点A的坐标是，
点B的坐标为．
25．(1)
(2)当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
【分析】本题主要考查可用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用等知识．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）利用每天的利润每支雪糕的利润每天的销量，即可得出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系为：
将，代入可得：
解得：，
故y与x之间的函数关系式为．
（2）根据题意有：
∵，且x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值为605，
答：当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
26．(1)
(2)
(3)小明的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.
【详解】（1）解：
，
∴当时，h最大，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
当时，，
∴，
∴（负值舍去）；
（3）解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得，
当时，，
解方程，得，，
∴两次间隔的时间为，
∴小明的说法不正确．
27．(1)
(2)
(3)6
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
（1）用待定系数法求解即可．
（2）根据二次函数图象可得出结论．
（3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）将和点代入二次函数得：，
解得：，
∴二次函数解析式为：．
（2）∵当时，的图象在的下方，
∴不等式的解集为：．
（3）当时，，
解得，
∴，
∴．
∴．
()
()
