8.3 频率与概率
一、单选题
1．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，则下列说法正确的是( )
A．出现正面的频率是6 B．出现正面的频率是60%
C．出现正面的频率是4 D．出现正面的频率是40%
2．以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3．某种幼树在相同条件下移植试验的结果如下表:则下列说法正确的是（ ）
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902
B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89
C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670
D．从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90
4．某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为（ ）
抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000
能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880
能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97
A．0.95 B．0.96 C．0.97 D．0.98
5．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率 B．实验得到的频率与概率不可能相等
C．当实验次数很小时，概率稳定在频率附近 D．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
6．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
7．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 249
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
8．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 15 33 78 159 321 801
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.75 0.83 0.78 0.80 0.80 0.80
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是 （ ）
A．0.75 B．0.80 C．0.83 D．0.78
二、填空题
10．一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同．每次摸出1个球，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率约为______．
11．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．
12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个．
13．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．
14．在一个不透明的布袋中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共40个，这些玻璃球除颜色外其他完全相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后．再放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在和左右，则布袋中白色球约为__________个．
三、解答题
15．小展和小冰两位同学在学习“概率”时投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 10 15 20 25 20 10
（1）计算“2点朝上”的频率和“3点朝上”的频率；
（2）小展说：“根据实验，一次实验出现4点朝上的概率是”；小展的这一说法正确吗？为什么？
16．疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 500 1000 1500 2000
落在“抽纸”的次数 51 99 251 502 750 1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
17．在不透明箱里放有红、白、黄、蓝四种颜色球共16个，除颜色外都相同，其中白球5个，黄球4个．
（1）小军和小颖为争一个竞赛的名额，决定用摸球的方式来确定，从不透明箱里随机摸出1个球，是白球就小军去，是黄球，就小颖去．请问这个规则是否公平？并通过计算概率说明理由．
（2）现每次从箱中任意摸出一个球记下颜色，再放回箱中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在25%，那么箱里大约有多少个红球？
18．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有 只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
19．某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔"的次数
落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位)
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)；
（2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度．
20．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 …
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 （结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）
21．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604
落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604
（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
22．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据：
(1) 请估计：当n很大时， 摸到白球的频率将会接近 ；
(2) 假如你去摸一次， 摸到黑球的概率是 ；(本小题精确到0.1)
(3) 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只
(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
答案
一、单选题
1．B
【解析】
解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上6次，反面朝上4次，
∴出现正面的频数是6，出现反面的频数是4，
出现正面的频率为6÷10=60%；出现反面的频率为4÷10=40%．
故选B．
2．D
【解析】
解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选D．
3．D
【解析】
解：从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，
故选D．
4．C
【解析】
解：∵抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，
∴可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.97．
故选：C．
5．D
【解析】
A.频率只能估计概率，故此选项错误；
B. 实验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误；
C. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项错误；
D. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确.
故选D.
6．B
【解析】
由题意可得，摸到红球的概率为0.2，则有，
，
∴，
∴；
故选：B．
7．D
【解析】
解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，
故选：D．
8．C
【解析】
解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确；
D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误．
故选：C．
9．B
【解析】
解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.80附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.80．
故选择：B．
二、填空题
10．0.6
【解析】
解：∵每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，
∴摸到黑球的概率约为0.4，
∴摸到红球的概率约为1-0.4=0.6，
故答案为：0.6．
11．5.4
【解析】
解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故答案为：5.4．
12．3
【解析】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于
∴可估计摸到红球的概率约为
设袋中红球个数为，
依据概率公式得：
解得
所以可估计袋中约有3个红球
故答案为：3．
13．②
【解析】
解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误；
②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确
故答案为：②
14．12
【解析】
由不透明的布袋中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共40个，
摸到红色球、黑色球的频率稳定在和左右，
红色球数为×40=10个，
黑色球数为×40=18个，
布袋中白色球约为：40-10-18=12个，
故答案为：12．
三、解答题
15．
（1）“2点朝上”的频率=15÷100=，“3点朝上”的频率=20÷100=；
（2）小展的说法不正确，因为4点朝上的频率为，不能说明4点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值近似地作为该事件发生的概率．
16．
解：（1）表格中的数据，从左到右依次为51÷100=0.51，99÷200=0.495，251÷500=0.502，502÷1000=0.502，750÷1500=0.5，1002÷2000=0.501.
（2）当转动转盘的次数很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；
（3）由（2）可知，获得“抽纸”的概率为0.5.
17．
（1）∵有白球5个，黄球4个，总球数共16个，
∴摸到白球和黄球的概率分别为：P（白球）=，P（黄球）=，
∵＞，
∴这个规则不公平；
（2）16×（1---25%）=16×=3（个），
故箱里大约有3个红球．
18．
解：（1）∵根据表格可知摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6；故答案为0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有30只球，
∴则白球的个数为30×0.6=18只，故答案为18；
（3）根据题意可知：，解得，故答案为30.
19．
解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；
（2）1-0.7=0.3，40000×0.7×0.5+40000×0.3×3=14000+36000=50000元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°，
则，
解方程得：n=36．
20．
解：（1）20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
（2）20÷50=0.4；
59÷150≈0.39；
123÷300≈0.41
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
（3）设封闭图形ABCD的面积为a，根据题意得：，
解得：a=10π，
∴整个封闭图形ABCD的面积为10π平方米.
21．
解：（1）298÷500≈0.6；0.59×800=472；
补全表格如下：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 472 604
落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.6 0.59 0.604
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6；
故答案为：0.6；0.6；
（3）（1﹣0.6）×360°=144°，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°．
22．
（1）观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；
（3）∵20×0.6=12,20×0.4=8，∴黑球8个，白球12个；
（4）①先从不透明的口袋里摸出a个白球，都涂上颜色（如黑色），然后放回口袋里，搅拌均匀；②将搅匀后的球从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断大量重复n，记录摸出黑球频数为b；③根据用频数估计概率的方法可得出白球数为.
