2023-2024学年云南省曲靖市第二中学经开区校区高一上学期期中教学质量检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据韦恩图即可求解.
【详解】因为，，所以．
故选：A．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．.，
C．， D．，
【答案】D
【分析】全称命题的否定变为特称命题.
【详解】“，”的否定为“，”，
故选:D.
3．已知函数，则的值是（ ）
A．－2022 B．0 C．1 D．2022
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数可求的值.
【详解】的定义域为，定义域关于原点对称.
，故为奇函数，
则．
故选：B.
4．“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．
故选：B．
5．函数的定义域为（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：且，
故选：D
6．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】令得，代入解析式求解.
【详解】令得，
故，
故选：D
7．已知函数，若的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，且是方程的两个根，然后利用根与系数的关系求解即可.
【详解】因为的解集为，
所以，且是方程的两个根，
所以，
所以，所以，
故选：A.
8．已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，．
所以，，即，
因此，.
故选：D.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若集合，，则
B．，
C．，
D．若集合，，则
【答案】AB
【分析】根据集合相等的定义判断A选项，根据平方的非负性判断B、C选项，根据真子集的定义判断D选项.
【详解】由集合的无序性知，故A选项正确；一个数的平方为非负数，故B选项正确；，故C选项错误；由集合的真子集的概念可知，故D选项错误.
故选：AB.
10．下列不等式的解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，
所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，因为，
所以方程的两根为，
所以不等式的解集为，所以B错误，
对于C，因为，
所以不等式的解集为，所以C正确，
对于D，因为，
所以方程的根为，
所以不等式的解集为，所以D错误，
故选：AC
11．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】A选项，两函数对应法则不一致；BD选项，两函数定义域和对应法则均相同；C选项，两函数定义域不相同.
【详解】A选项，，，故两函数不是同一函数，A错误；
B选项，，，故两函数为同一函数，B正确；
C选项，的定义域为R，的定义域为，故两函数不是同一函数，C错误；
D选项，的定义域为，且，
的定义域为，且，
故两函数是同一函数，D正确.
故选：BD
12．下列说法正确的是（ ）
A．已知是定义在上的函数，且，所以在上单调递减
B．函数的单调减区间是
C．函数的单调减区间是
D．已知在R上是增函数，若，则有
【答案】CD
【分析】举反例判断A，化简函数解析式，求函数的单调递减区间判断B，结合二次函数的性质和函数的定义域判断C，根据增函数的性质判断D.
【详解】对于A，设，，则，但是在上单调递增，A错误；
对于B，，所以函数的单调递减区间是，，故B错误：
令，解得，所的定义域为，又的单调减区间是，所以的单调递减区间是，故C正确；
在上是增函数，若，即，，所以，，所以，即，故D正确．
故选：CD．
三、填空题
13．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】或，得.
故答案为：.
14．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．
【答案】
【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可.
【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 .
故答案为：.
15．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由不等式的性质求解.
【详解】，，
设，
所以，解得：，
所以，
又，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
16．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，
又在区间上单调递增，
由，得，解得.
由，得，解得或.
所以，即或解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】由交并补的混合运算即可求解.
【详解】（1）集合，，.
（2），.
18．已知函数的图象关于直线对称且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（1）根据已知条件求得，从而求得的解析式.
（2）结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）依题意，函数的图象关于直线对称且，
所以，解得，
所以.
（2）由于的开口向下，对称轴为，
所以在上的最大值为，
，
故在的值域是.
19．已知集合，命题p：，．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据命题p的真假性即可写出实数a的范围.
（2）由列出不等关系，求出实数m的取值范围.
【详解】（1）对于命题p，因为命题p为真命题，所以，
故a的取值范围为
（2）由（1）可得，又.
由，
当时，，满足题意；
当时，则，即．
综上所述，m的取值范围为．
20．已知函数
(1)作出函数在的图像；
(2)求；
(3)求方程的解集，并说明当整数在何范围时，.有且仅有一解.
【答案】(1)图象见解析
(2)
(3)解集为；或.
【分析】（1）各段均为一次函数，作出图象即可；
（2）结合函数的定义，先求，再求；
（3）各段解，即可得解集，观察图象即可求的k值范围.
【详解】（1）
（2）；
（3）当时，由，得；
当时，由，得；
当时，由，得；
所以解集为；
当有且仅有一解且k为整数时，则或.
21．（1）已知，，，证明：；
（2）证明：当，时，有.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用“”的代换及基本不等式计算可得；
（2）依题意，，再计算，即可得证.
【详解】（1），，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
；
（2）因为，，
所以，，即，，
所以
，当且仅当或时取等号，
所以，则.
22．已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)，关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围；
(3)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），从而求解；
（2）由题意得化简得，则恒成立，从而可求解；
（3）由题意得在上恒成立，得，然后令并结合基本不等式从而求解.
【详解】（1）当时，则，
由，则，解得或；
所以不等式的解集为.
（2）由题意得在总有两个不同实数解，
即在总有两个不同实数解，
由解得或，
所以，则，
因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以，
故的取值范围为.
（3）由即在上恒成立，得，
令，则，
当且仅当，即时取等号，所以.
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：恒成立的问题常常考虑分离参数，转化为函数的最值或范围的问题，这样可以避免分类讨论.
