专项练习三 正方形的性质与判定
时间:30分钟 满分:60分
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.下列说法中错误的是( )
A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
D.两条对角线相等的菱形是正方形
2.已知四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B. AB=CD
C. AD=BC D. BC=CD
3.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )
A.22.5°角 B.30°角
C.45°角 D.60°角
4.如图，在正方形ABCD 的内部作等边三角形BCE,则∠AEB的度数为( )
A.60° B.65°
C.70° D.75°
5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交BC 于点D,交 AB 于点E,且BE=BF.添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是( )
A. BC=AC B. CF⊥BF
C. BD=DF D. AC=BF
6.如图，将边长为 的正方形 ABCD 沿对角线AC 平移，使点 A 移至线段 AC 的中点A'处,成为新的正方形A'B'C'D',新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影总值发)的面积是( )
A. B.
C.1 D.
二、填空题(每小题4分，共16分)
7.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,对角线 AC 与BD 相交于点O,若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是
8.正方形ABCD中,M为AD 上一点,ME⊥BD 于 E,MF⊥AC 于 F,若 ME+MF=8cm ,则AC= .
9.已知正方形ABCD 中,E、F 分别为CD 和AD 的中点,则 S△BEF= S正ABCD.
10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE 平分∠BAC 交BD 于点E.若正方形的周长为 16 cm,则 DE 的长为 .
三、解答题(共26分)
11.(8分)如图，已知过正方形ABCD的对角线 BD 上一点 P,作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥CD 于点F,求证:AP=EF.
12.(9分)如图,点 D 是线段AB 的中点,点 C是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC 于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:CE=CF;
(2)点 C 运动到什么位置时，四边形CEDF 成为正方形 请说明理由.
13.(9 分)如图,在 Rt△ABC 与 Rt△ABD中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD 相交于点 G,过点 A 作 AE∥DB 交CB 的延长线于点E,过点 B 作BF∥CA交DA 的延长线于点F,AE,BF 相交于点 H.
(1)图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；(不添加任何辅助线)
(2)证明:四边形AHBG是菱形;
(3)若使四边形 AHBG 是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件 请你写出这个条件.(不必证明)
专项练习三 正方形的性质与判定
1. B 2. D 3. C 4. D 5. D 6. B
或
8.16 cm 9. S 正方形ABCD 10.4 cm
11.证明连接AC,PC,如图.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD 垂直平分AC,∴AP=CP.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,
∴四边形 PECF 为矩形,
∴PC=EF,∴AP=EF.
12.(1)证明∵CD垂直平分AB,∴AC=CB.
又∵AC=CB,∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD=CD,∴△DEC≌△DFC.(AAS)
∴CE=CF.
(2)解 当 时，四边形CEDF为正方形.理由如下:
∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°,
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,∴∠ACB=90°,
∴四边形CEDF是矩形,
∵CE=CF,∴四边形CEDF是正方形.13.(1)解 △ABC≌△BAD.
证明:∵AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BA,∴△ABC≌△BAD(SAS).
(2)证明∵AH∥GB,BH∥GA,
∴四边形AHBG是平行四边形.
∵△ABC≌△BAD,∴∠ABD=∠BAC.
∴GA=GB.
∴平行四边形AHBG是菱形.
(3)解 需要添加的条件是AB=BC.
