22.3 实际问题与二次函数
第 1 课时 几何图形的最大面积
A层
知识点一 求二次函数的最大(或最小)值
1.已知二次函数 的最小值为0，则c 的值为 ( )
A.2 B.4 C.-4 D.16
2.二次函数 的最大值为
3.求出下列二次函数的最值：
(2)y=3+8x-2x .
知识点二 图形面积的最值问题
4.已知直角三角形中两条直角边长的和为18，则当三角形的面积最大时，其中一条直角边长为 ( )
A.8 B.9
C.10 D.12
5.如图，小明想用长为12米的栅栏(虚线部分)，借助围墙(围墙足够长)围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD 的最大面积是 ( )
A.16平方米 B.18平方米
C.20平方米 D.24平方米
6.如图,四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形 ABCD 的面积最大值是 ( )
A.16 B.32 C.36 D.64
7.若把一根长 200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为 cm .
8.某广告公司设计一幅周长为16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000 元.设矩形一边长为x 米，面积为S平方米.
(1)求 S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)设计费能达到24000元吗 为什么
(3)当矩形的一边长是多少米时，设计费最多 最多是多少元
B层
9.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,动点 P 从点A 开始沿边 AB 向 B 以1cm/s的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向C 以 2cm/s的速度移动(不与点 C 重合).如果 P、Q 分别从A、B 同时出发，那么经过几秒，四边形 APQC 的面积最小 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.用总长为a米的材料做成如图①的矩形窗框，设窗框的宽为x 米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②，则a 的值是 ( )
A.9 B.8
C.6 D.不能确定
11.如图,正方 形EFGH 的顶点均在边 长 为 2 的正 方 形ABCD的边上.当AE= 时,正方形EFGH 的面积最小.
12.如图，某农场要建一个矩形的菜地ABCD，四边用木栏围成，其中AB 边留一个 2 米宽的门(门不用木栏).现有木栏长 40米，设CD=x米，菜地面积为 y平方米.
(1)菜地的面积能达到120平方米吗 请说明理由；
(2)求菜地的面积的最大值.
13.如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地 ABCD,为美化环境,用总长为 100m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计).若四块矩形花圃的面积相等,设 BC 的长度为 x m,矩形区域ABCD的面积为 y m .
(1)求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)当 x 为何值时，y 有最大值 最大值是多少
第 2 课时商品利润最大问题
A层
知识点 销售中的最大利润问题
1.某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x 满足关系式 要使所获营业额最大，则此时旅行团有 ( )
A.30人 B.40 人 C.50 人 D.55 人
2.某商店在销售纪念品时，已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为 24x+2956,则获利最多为 ( )
A.3144元 B.3100 元 C.144元 D.2956 元
3.服装店将进价为每件 100元的服装按每件x(x≥100)元出售,每天可销售(200-x)件.若想获得最大利润，则x应定为 ( )
A.150 B.160 C.170 D.180
4.某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数a=-1，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为 元.
5.某超市经销一种商品，每件成本为 50元.经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售 300 件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少 10 件.当该商品 每件 的 销 售 价 为 元时，每个月的销售利润最大，最大利润是 元.
6.某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8 万元，销售单价 x(万元)与销售量y(件)的关系如表所示：
x(万元) 10 12 14 16
y(件) 40 30 20 10
(1)求y 与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少
7.某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部 门规定这种 商品的销 售价不 高 于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求 y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
B层
8.生产季节性产品的工厂，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的工厂，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是 那么该工厂一年中应停产的月份是 ( )
A.1月、2月 B.1 月、2月、3 月
C.3月、12月 D.1月、2月、3月、12 月
9.某快餐店销售A,B 两种快餐，每份利润分别为 12 元，8元，每天卖出份数分别为 40 份，80 份.该店为了增加利润，准备降低每份 A 种快餐的利润，同时提高每份 B 种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份 A 种快餐利润每降 1 元可多卖 2份，每份 B 种快餐利润每提高1元就少卖 2 份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元.
10.某水果店将标价为10元/千克的某种水果，经过两次降价后，价格为 8.1元/千克，并且两次降价的百分率相同.
(1)求该水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价的第1 天算起，第 x 天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间(天) x
销量(千克) 120-x
储藏和损耗费用(元) 3x -64x+400
已知该水果的进价为4.1元/千克，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求 y 与x(1≤x<10)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少
C层
11.某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成.这种设备的出厂价为1200 元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产 2 台.若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天(x 为整数)的生产成本为m(元/台)，m与x的关系如图所示.
(1)若第 x 天可以生产这种设备y 台，则 y与x的函数关系式为 ，x 的取 值范围为 ；
(2)第几天时，该企业当天的销售利润最大 最大利润为多少
第 3 课时 拱桥问题和运动中的抛物线
A层
知识点一 拱桥问题
1.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为 当水面离桥顶的距离为 m时，水面的宽度为 m.
2.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2m 时，水面宽度为4m，那么当水位下降2m后，水面的宽度增加 m.
3.有一个抛物线形拱桥的最大高度为 16 m，跨度为 40m，把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点 M 的距离 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱的长为 m.
4.如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成.最大高度为6m,底部宽度为12m,AO=3m.现以O点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点 A 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式.
知识点二 其他问题
5.某店加工烤鸭时，烤鸭的口感系数 y 和加工时间t(h)之间的关系式为 口感系数越大，口感越好，则最佳加工时间为( )
A.3 B.3 或 4 C.3.5 D.3 或5
6.小华酷爱足球运动.一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系为 则足球距地面的最大高度是 m.
7.小明和小丽先后从 A 地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时，小丽、小明离 B 地的距离分别为y m、y m. y 与x 之间的函数关系式是y =--180x+2250,y 与x 之间的函数关系式是
(1)小丽出发时，小明离 A 地的距离为 m；
(2)小丽出发至小明到达 B 地这段时间内，两人何时相距最近 最近距离是多少
B层
8.一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是 则此运动员把铅球推出的最远距离为 ( )
A.12m B.10m C.3m D.4 m
9.如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线形图案.已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA 的距离分别为0.5m,1.5m.若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线形图案.
10.如图①,地面 BD 上两根等长立柱AB,CD 之间悬挂一根近似成抛物线 的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离 AB 为 3米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子(如图②)，使左边抛物线 F 的最低点距 MN 为 1 米,离地面 1.8 米,求 MN 的长.
C层
11.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为 x 轴，点 O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为
(1)求雕塑高OA;
(2)求落水点C，D之间的距离；
(3)若需要在OD 上的点E处竖立雕塑EF，OE=10m,EF=1.8m,EF⊥OD.问:顶部 F 是否会碰到水柱 请通过计算说明.
22.3 实际问题与二次函数
第 1 课时 几何图形的最大面积
1. B 2.7
3.解: 当x=--3时,y取最小值，最小值为--15.
.当x=2时,y取最大值，最大值为11.
4. B 5. B 6. B 7.1250
8.解:(1)∵矩形的一边长为x 米,周长为16米,∴另一边长为(8-x)米.∴S=x(8-x)= 其中0
当x=4时,S最大值=16,∴当矩形的一边长为 4 米时，矩形的最大面积为16 平方米.此时设计费最多,为16×2000=32000(元).∴设计费最多是 32000元.
9. C 10. C 11.1
12.解:(1)∵CD=x米, x)米.根据题意得x(21-x)=120,整理得. ∴菜地的面积不能达到120平方米.
(2)根据题意得y=x(21-x)=--(x- ∴当 时，菜地的面积最大，最大值为 平方米.
13.解：(1)由四块矩形花圃的面积相等，可得 篱笆总长为100m,BC=xm,∴2AB+GH+3BC=100,即 则
(2)由 ∴当 时，y有最大值，最大值为
第 2 课时 商品利润最大问题
1. C 2. B 3. A 4.180 5.70 4000
6.解：(1)由表格中数据可知，y与x 之间的函数关系式为一次函数关系,设y=kx+b(k≠0),则 解得 与x的函数关系式y=-5x+90.
(2)设该产品的销售利润为w，由题意得ω=y(x-8)=(--5x+90)(x--8)=--5x + ∴当x=13时,w最大,最大值为125.
答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125 万元.
7.解:(1)设 y 与x 的函数关系式为y=kx+b, 将 (10, 30 )、 ( 16, 24 ) 代 入, 得 解得 与x 的函数关系式为y=-x+40(10≤x≤16).
(2)根据题意知，W=(x--10)y=(x- 25) +225.∵a=-1<0,∴当x<25时,W随x的增大而增大.∵10≤x≤16,∴当x=16时,W取得最大值，最大值为 144.
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元.
8. D解析:令 y=0,则 ∴n -15n +36 =0.∴(n-3)(n--12)=0. ∴抛物线开口向下.∴n=1和n=2时,y<0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、3月、12月.
9.1264
10.解：(1)设该水果每次降价的百分率为a，由题意得 解得 1.9(舍去).
答：该水果每次降价的百分率是 10%.
(2)由题意可得y=(8.1-4.1)(120--x)- 10) +380.∵-3<0,1≤x<10,且x 为整数,∴当x=9时,y取得最大值,此时y=377.故第9天时销售利润最大，最大利润是377 元.
11.解:(1)y=2x+20 1≤x≤12且x 为整数(2)设当天的销售利润为ω元.当1≤x≤6时,w=(1200-800)(2x+20)=800x+8000.∵800>0,∴ω随x的增大而增大.∴当x=6时,W最大值=800×6+8000=12800.当6
答：该企业第6 天获得的利润最大，最大利润是 12800 元.
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1.10 2.(4 -4) 3.15
4.解:(1)由题意得A(0,3),P(6,6).
(2)设抛物线的解析式为. ∵抛物线 经过点(0,3),∴3= 6,即 抛物线的解析式为
5. C 6.7.2
7.解:(1)250 解析: ∴当x=0时, y =2000.∴小丽出发时,小明离 A 地的距离为2250—2000=250(m).故答案为250.
(2)设小丽出发第 x min时,两人相距s m,则 10x -80x+250=10(x-4) +90,∴当x=4时(两人还未到达 B 地)，s 取得最小值，此时s=90.
答：小丽出发第4 min时，两人相距最近，最近距离是 90 m.
8. B 9.6
10.解: ∴抛物线顶点为最低点. ∴当x=4时, 绳子最低点离地面的距离为 米.
(2)将x=0代入 得y=3,∴A(0，3).由题意可得抛物线 F 的顶点坐标为(2,1.8).设 F 的解析式为. 1.8,将(0,3)代入得4a+1.8=3,解得a=0.3,∴抛物线 F 的解析式为. 当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1,∴MN 的长为2.1米.
11.解:(1)当x=0时, ，∴点A的坐标为( ，雕塑高 (2)当y=0时, 解得. 一1(舍去), 点 D 的坐标为(11,0).∴OD=11m.∵从A 点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同,∴OC=OD=11 m.∴CD=OC+OD=22m.
(3)当x=10时, ∴点(10, )在抛物线 上.又 ∴顶部 F 不会碰到水柱.
