*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
A层
知识点一 根与系数的关系
1.设x ,x 是一元二次方程 的两个根，则 的值为( )
A.-2 B.-3 C.2 D.3
2.已知 的两根为x 、x ,则x ·x 的值为 ( )
A.1 B.-1 C.
3.关于x 的一元二次方程 x--a=0的一个根是2，则另一个根是 .
【变式题】“已知两根和→已知两根积”求另一根(2021·巴中中考)关于 x 的方程 4=0的一根为x=1,则另一根为 .
4.设方程 的两个根为x ,x ,不解方程求下列各式的值：
知识点二 根与系数的关系的应用
5.在解一元二次方程x +px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1.小明看错了一次项系数 p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是( )
6.已知m,n 是方程 的两根,则点 P(m+n, mn)在第 象限.
7.已知关于 x 的方程 (k+4)x+4k=0(k≠0)的两实数根为x ,x .若 则k= .
【变式题】本质不变，需根据条件进行取舍
关于 x 的方程 有两个实数根α，β，且 则m= .
8.已知关于 x 的一元二次方程 1=0.
(1)求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若.x ,x 为该方程的两个实数根，且满足 求 k 的值.
B层
9.已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根x ,x ,则 ( )
10.关于 x 的一元二次方程 的两实数根是x ,x ,满足x x =2,则m 的值是 .
11.设m，n 是一元二次方程 的两根，则 的值为 .
12.已知关于 x 的一元二次方程. 8=0有两个实数根x ,x .
(1)求 k 的取值范围;
(2)若 求 k 的值.
13.已知关于 x 的一元二次方程
(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根
(2)若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值.
C层
14.(1)已知a,b,m,n 为互不相等的实数,且(a+m)(a+n)=2,(b+m)(b+n)=2,则ab—m n 的值为 ;
(2)已知 a,b 满足 15b-5=0,求 的值.
【变式题】(选做)已知 2n--1=0,且mn≠1,求 的值.
方法归纳
(1)运用根与系数的关系时，注意不要忽略Δ≥0,如 T12.
(2)当遇到两个形式相同、未知数不同的一元二次方程时，就可联想到两个未知数为同一个一元二次方程的两个根，后面所求代数式的值就可运用根与系数的关系求解.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. C 2. D 3.-3 【变式题】x=-2
4.解：由根与系数的关系得 -4.
9=-4-3×3+9=-4.
5. B 6.四 7. 【变式题】3
8.(1)证明: ∴不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)解：根据根与系数的关系得 x )-x x =0.∴2×(-2k)-(k-1)=0.∴k= .
9. D 10.2
11.1 解析:∵m,n 是一元二次方程 0的两根， 4(-n+3)+20=4(m+n)+5=4×(--1)+5=1.
12.解:(1)由题意可知, (--2k+8)≥0,整理得 16+8k--32≥0,解得k≥2.
(2)由题意得 由根与系数的关系得 故 有 整理得 解得 又由(1)可知k≥2,∴k的值为3.
13.解:(1)∵方程 有两个不相等的实数根， 解得 当 时，方程有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a，b，根据题意得a+ 2b为边长为5的菱形的两条对角线的长， .解得m=-4,或m=2.∵a>0,b>0,∴a+b=-2m-1>0.∴m=-4.
14.解:(1)-2 解析:∵(a+m)(a+n)=2,(b+ b +(m+n)b+mn-2=0.而a,b,m,n 为互不相等的实数，∴a，b看作方程 n)x+mn-2=0的两实数根.∴ab=mn-2.∴ab--mn=-2.
(2)从a，b满足的同一种关系可知：①当a≠b时，a，b是一元二次方程 的两根， -47;②当a=b时, 综上, 的值为-47 或2.
【变式题】解：由 可知n≠0.将 两边同时除以 n 得 是方程 的两个实数根.又 则
