2023-2024学年山东省德州市宁津县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．下列各数中的无理数是（ ）
A． B． C．3.1415 D．
2．将不等式x﹣1＞0的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用（1，3）表示小明的位置，（﹣1，2）表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（ ）
A．（2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
4．如图，在直线AB外取一点P，经过点P作AB的平行线，这种面法的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
5．下列调查方式适合用普查的是（ ）
A．检测一批LED灯的使用寿命
B．检测一批家用汽车的抗撞击能力
C．测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况
D．中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率
6．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．＜
7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），将点A的坐标向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
8．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝7 D．x﹣y＝﹣7
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同位角相等
10．商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（ ）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
11．《九章算术》中有一题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：现有几个人共同买金，每人出400钱，多出3400钱；每人出300钱，多出100钱．那么人数，金价各是多少？设人数为x人，金价为y元，则可列出方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG和∠GHF的平分线交于点M．若∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（ ）
A．31° B．36° C．41° D．51°
二、填空题：本大题共6小题，共24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分。
13．如果是方程ax+2y＝5的解，则a＝ ．
14．某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为 °．
15．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1＝65°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为 ．
16．若4a+1的算术平方根是5，则a+2的立方根是 ．
17．对实数x，y定义一种新的运算P，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是 ．
18．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚。
19．（8分）计算：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
20．（10分）小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2．
（1）求正方形贺卡的边长；
（2）求长方形信封的长和宽；
（3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
21．（10分）在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校八年级学生的视力健康水平2．给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分八年级学生
调查内容 部分八年级学生的视力
调查结果 部分学生视力情况频数分布表视力频数频率4.0≤x＜4.3200.14.3≤x＜4.6400.24.6≤x＜4.970b4.9≤x＜5.2a0.35.2≤x＜5.5100.05 部分学生视力情况频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）
建议 …
结合调查报告，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，补全频数分布直方图；
（2）已知该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的人数有多少？
（3）该统计结果引起了同学们的里视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．
22．（12分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，FH⊥FB．
（1）若∠DFH＝59°，求∠B的度数；
（2）若∠BEF＝2∠AEF，FB平分∠EFD，求∠GFH的度数．
23．（12分）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．
（1）已知点A（﹣3，6）的“级关联点”是点A′”，则点A′的坐标为 ；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为点N位于y轴上，求点N的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点H，使HM∥x轴，且HM＝3，求点H的坐标．
25．（14分）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．解：A、是无限不循环小数，故该选项符合题意；
B、是整数，故该选项不符合题意；
C、3.1415是有限小数，故该选项不符合题意；
D、是分数，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．解：x﹣1＞0，
所以x＞1，
用数轴表示为：
．
故选：A．
3．解：如图所示，故小红的位置可表示为（﹣2，0），
故选：C．
4．解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
5．解：A、检测一批LED灯的使用寿命，适合用抽样调查，不符合题意；
B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适合用抽样调查，不符合题意；
C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，适合用普查，符合题意；
D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，适合用抽样调查，不符合题意；
故选：C．
6．解：A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意．
B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意．
C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意．
D、若m＞n，则＞，故不符合题意．
故选：B．
7．解：∵将点A的坐标向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，
∴点B的坐标是（3+2，1﹣2），即（5，﹣1）．
故选：C．
8．解：，
把②代入①，得x+y+3＝4，
∴x+y＝1，
故选：A．
9．解：A、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是真命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，则同旁内角相等，两直线平行是假命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则过一点有且只有一条直线与已知直线平行是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题，不符合题意；
故选：A．
10．解：设可以购买该商品x件（x＞5），
根据题意得：30×5+30×0.8（x﹣5）≤270，
解得：x≤10，
即最多可以购买该商品10件，
故选：B．
11．解：设合伙人数为x人，金价y钱，
∵每人出400钱，会剩余3400钱，
∴400x＝y+3400；
∵每人出钱300，会剩余100钱，
∴300x＝y+100，
联立组成方程组得，即，
故选：A．
12．解：如图：
过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，
∵GN∥AB，
∴∠AEG＝∠EGN，
∵GN∥KH，
∴∠NGH＝GHK，
∵HK∥CD，
∴∠HFD＝∠KHF，
∵∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，
∴∠AEG+∠GHF＝102°，
∵EM和MH是角平分线，
∴∠AEM+∠NHF＝51°，
∵∠HFD＝∠KHF＝20°，
∴∠AEM+∠MHK＝31°，
∵MP∥AB∥HK，
∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠NHK，
∴∠EMP+∠PMH＝31°，
即∠EMH＝31°．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，共24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分。
13．解：将代入原方程得：3a+2×（﹣2）＝5，
解得：a＝3．
故答案为：3．
14．解：由图可得，
本次抽查的学生有：15÷30%＝50（人），
扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：72．
15．解：∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN＝180°，
∵∠1＝65°，
∴∠CBN＝115°，
∵∠2＝45°，
∴∠DBC＝180°﹣45°﹣115°＝20°．
故答案为：20°．
16．解：∵4a+1的算术平方根是5，
∴4a+1＝25，
解得：a＝6，
则a+2＝6+2＝8，
那么a+2的立方根是2，
故答案为：2．
17．解：由题意可知，
①当0＜x＜1时，由不等式组得，
解1﹣x＞4，得：x＜﹣3，与0＜x＜1（不合题意，舍去）；
②当x≥1时，由不等式组得，
解得，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴8＜m﹣1≤9，
解得：9＜m≤10，
故答案为：9＜m≤10．
18．解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
………，
按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，
由于2024÷4＝506，
所以经过第2024次运动后，动点P的坐标是（2024，0）．
故答案为：（2024，0）．
三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚。
19．解：（1），
由①得，y＝2x﹣1③，
将③代入②得，3x+2（2x﹣1）＝19，
解得：x＝3，
将x＝3代入③得，y＝2×3﹣1＝5，
∴方程组的解为；
（2），
由①可得：x≥﹣3，
由②可得：x≤3，
∴原不等式组的解集为﹣3≤x≤3．
20．解：（1）正方形贺卡的边长为．
答：正方形贺卡的边长为16cm．
（2）∵信封的长、宽之比为3：2，
∴设长方形信封的长为3x cm，则宽为2x cm，
由题意得3x 2x＝420，即x2＝70，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为．
（3）正方形贺卡的边长为16cm，信封的宽为
∵70＞64，
∴，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
21．解：（1）样本容量为：20÷0.1＝200，
∴a＝200×0.3＝60，b＝70÷200＝0.35，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：60；0.35；
（2）800×（0.05+0.3）＝280（名），
答：估计该校八年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的人数有280名；
（3）①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；
②保证充足的睡眠，饮食均衡．（答案不唯一，合理即可）．
22．解：（1）∵FH⊥FB，
∴∠BFH＝90°，
∵∠DFH＝59°，
∴∠BFD＝∠BFH﹣∠DFH＝90°﹣59°＝31°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD＝31°；
（2）∵∠BEF+∠AEF＝180°，∠BEF＝2∠AEF，
∴∠AEF＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝60°，
∵FB平分∠EFD，
∴，
∴∠GFH＝180°﹣∠EFB﹣∠BFH＝180°﹣30°﹣90°＝60°．
23．解：（1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元；
（2）设销售B型车m辆，则销售A型车（10﹣m）辆，
根据题意得：18（10﹣m）+26m≥220，
解得：m≥5，
∴m的最小值为5．
答：B型车至少销售5辆．
24．解：（1）∵点A（﹣3，6）的“级关联点”是点A′，
∴点A′坐标为，即A′（5，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）；
（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”是点N，
∴点N坐标为（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），即N（﹣m+3，﹣5m﹣1），
∵点N位于y轴上，
∴﹣m+3＝0，
解得：m＝3，
∴﹣5m﹣1＝﹣5×3﹣1＝﹣16，
∴点N的坐标为（0，﹣16）；
（3）由（2）得：m＝3，
∴M（2，6），
∵HM∥x轴，且HM＝3，
∴点H的坐标为（5，6）或（﹣1，6）．
25．解（1）如图1，AB∥CD，
理由如下：
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
（2）①如图2，∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠FEG，
∵EM平分∠AFE，
∴∠FEM＝∠AEF，
∴∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，
∵HN∥EM，
∴∠HEM＝∠EHN＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠EGF＝β，
∴α＝（180°﹣β），
∴β＝180°﹣2α＝180°﹣2×50°＝80°．
②α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得β＝180°﹣2α，
当点G在点F的左侧时，如图3，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠FEM，
∵EH平分∠FEG，
∴∠GEF＝2∠HEF，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝2∠FEM﹣2∠HEF＝2∠HEM，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝β，
∵HN∥EM，
∴∠HEM＝α，
∴β＝2α，
综上得，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α．
