辽宁省锦州市2024届高三下学期2月摸底考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知复数（），，若为纯虚数，则( )
A. B. C.2 D.
3．“”是曲线“过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在中，，，点M在边上，且满足，则( )
A. B.1 C.2 D.
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，.则的值( )
A. B. C. D.
7．已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
8．已知函数对定义域R内的任意x都有，且当时其导函数满足，若，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的( )
A.中位数为3 B.方差为 C.众数为3 D.85%分位数为4.5
10．已知各项都是实数的数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.若，则数列是递减数列
B.若，则数列无最大值
C.若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
D.若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
11．已知椭圆（）的离心率，，分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆E上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是( )
A.当P不与左、右端点重合时，的周长为定值
B.当时，
C.有且仅有4个点P，使得为直角三角形
D.当直线的斜率为1时，直线的斜率为
12．设，定义（，且a为常数），若，，.
①不存在极值；
②若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；
③若在R上是减函数，则实数a的取值范围是；
④若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直.
其中真命题的序号有( )
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题
13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于______.
14．的展开式中的系数为______.
15．若曲线（）的切线的倾斜角的取值范围是，则______.
16．已知椭圆（）的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则椭圆C的离心率为______.
四、解答题
17．已知各项均为正数的数列满足：，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项和.
18．若锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围
19．如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点E，F是中点，G为上一点.
（1）求证：；
（2）当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值.
20．为了参加锦州市教育局主办的《中国汉字听写大会》节目，附育高中范老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习3个汉字以及正确注释，每周五对一周内所学汉字随机抽取若干个进行检测（一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同）.
（1）范老师随机抽了4个汉字进行检测，求至少有3个是后两天学习过的汉字的概率；
（2）某学生对后两天所学过的汉字每个能默写对的概率为，对前两天所学过的汉字每个能默写对的概率为.若范老师从后三天所学汉字中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的汉字的个数的分布列和期望.
21．如图，椭圆（）的焦点在x轴上，左右顶点分别为，A，上顶点为B，抛物线，分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P.
（1）求椭圆C及抛物线，的方程；
（2）若动直线l与直线垂直，且与椭圆C交于不同的两点M、N，已知点，求的最小值.
22．已知函数.
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若有两个不同的零点，，①求a的取值范围；②证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，，因此，所以.
故选：C
2．答案：D
解析：，，
，
由为纯虚数，则，解得，
则，
故选：D.
3．答案：A
解析：时，曲线，过坐标原点.
但是，曲线过坐标原点，即在图象上，
将代入解析式整理即得，，，不一定有.
故“”是“曲线过坐标原点”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．答案：B
解析：由已知得
故选B
5．答案：A
解析：据己知条件中的焦点坐标判断出焦点在x轴上，设双曲线的方程为：，一个焦点为，①线段的中点坐标为，P的坐标为将其代入双曲线的方程得：②
解①②得，，所以双曲线的方程为.故选择A.
6．答案：C
解析：第一步，根据正弦定理，，我们可以得到，.
第二步，根据余弦定理，.
第三步，根据同角三角函数的基本关系，.
第四步，根据倍角公式，，
所以本题选择C.
7．答案：B
解析：如图，设正三棱柱的外接球O的半径为R，则，解得.因为三棱柱有内切球，设内切球半径为r，则正三棱柱的高为，连接，的中心，，则线段的中点即为球心O.依题意，内切圆半径为r，得，，则，解得，，故三棱柱的体积.故选B.
8．答案：D
解析：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；
又当时其导函数满足
当时，，在上单调递增；
同理可得，当时，在单调递减；
，，，，
故选：D.
9．答案：AB
解析：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这组数据的中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现的次数最多，所以众数为2和3，故C错误；
平均数为：，
则方差为，故B正确；
第分位数是数据中至少有的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，
故选：AB.
10．答案：ACD
解析：A：当时，；
当时，，，所以从第二项开始，数列单调递减，又得又，，所以数列是递减数列，故A正确；
B：因为，令，则，所以数列单调递减，有最大值，且最大值为，故B错误；
C：若等比数列的公比为q，当，当时，
则
则，为常数，
当时，
，为常数，故，，，为非0常数数列为公比为1的等比数列，
综上，，，，成等比数列，故C正确；
D：若数列为等差数列，公差为d，则当，
，
，
所以，为常数，
则，，，成等差数列，故D正确.
故选ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为，当且仅当P为右顶点时取等号，又因为的最大值为，所以，，因为，
所以，，
所以椭圆E的方程为，
因为的周长为，故A正确；
对于B，当时，，
所以，所以，
所以，因为
所以，故B正确；
对于C，如图，
设椭圆的上顶点为，因为
所以，所以的最大值为，
所以存在4个点P，使得，又因为存在2个点使，存在2个点P使，所以存在8个点P，使得为直角三角形，故C错误；
对于D，因为，，设，
则，所以，
所以
因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：BC
解析：，，，，则，
当的，时，即有极大值，又有极小值，故①错误；
的反函数为，
，若函数与函数有两个交点，则与函数，相切，
此时切点为，切线斜率为，故②正确；
若在减函数，则对于恒成立，
即恒成立，
，，，，
即实数a的取值范围是，故③正确；
④当时，，设，是曲线上的任意两点，
，
，，
的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.
故④错误；
故真命题的序号为：②③，
故答案为：BC
13．答案：
解析：由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：
则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，则，母线，
所以圆台的表面积.故答案为：
14．答案：
解析：的展开式的通项公式为，，
的展开式中的系数为.
故选：B.
15．答案：
解析：由，得，当且仅当，即时取等号，又曲线的切线的倾斜角的取值范围是，，得.
故答案为：.
16．答案：
解析：令椭圆的半焦距为c，设，则，由点B在y轴上，，得，而，
，，
，解得
(舍去)，或，
在中，，
在中，由余弦定理得，
，
整理得，，即.
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）；，.
解析：（1）由，得到，，
又，所，
整理得到，又，得到，
所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知（）
所以（）
所以
，.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以.
（2）因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即.
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，即，所以，即的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：方法一：（1）面，四边形是正方形，其对角线，交于点E
，，
交与点A，平面
平面，
（2）作于H，连接，面，四边形是正方形，，又，，，，且，
是二面角的平面角.即，
面，就是与底面所成的角
连结，则，，，
而，，，，
与底面所成角的正切值是
方法二：（1）以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，
，（），，，（）
，，
（2）设平面的一个法向量为
则，而，，
，取，得，
同理可得平面的一个法向量，设，所成的角为，则，
即，，
面，就是与底面所成的角，
与底面所成角的正切值是
20．答案：（1）；
（2）分布列见解析；
解析：（1）设范老师抽到的4个汉字中，至少含有3个后两天学过的事件为A，
由题意可得.
（2）由题意可得可取0，1，2，3，则有，，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
故.
21．答案：（1）椭圆；；；
（2）
解析：（1）由题意可得，，
故抛物线的方程可设为，的方程为
由得，
椭圆，抛物线，
（2）由（1）知，直线的斜率为，所以直线l的斜率为，设直线l方程为由，整理得
设、，则，
因为动直线l与椭圆C交于不同两点，所以
解得
，
，，
，所以当时，取得最小值，
其最小值等于
22．答案：（1）在区间上的最大值为0，最小值为；
（2）①；②证明见解析
解析：（1）当时，，，
由，得；由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为，，
，，
所以在区间上的最大值为0，最小值为.
（2）（）.
①当时，，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去；
当时，所以（），
由，得，所以在上单调递增；
由，得，所以在上单调递减.
所以当时，取得极大值，极大值为，
为满足题意，必有，得.
②因为，是的两个不同的零点，
所以，，
两式相减得.
设，要证，
只需证，即证.
设，只需证（），
设（），则，
所以在上为增函数，从而，
所以（）成立，从而.
