河南省信阳市淮滨县多校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,,则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
2．某同学喜爱球类和游泳运动.在暑假期间,该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球,则下午一定去游泳;若上午去打球,则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳,则上午打球的概率为( )
A. B. C. D.
3．已知定义在上的函数满足,且,则的解集是( )
A. B. C. D.
4．已知关于x的不等式成立的一个必要不充分条件是,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6．等差数列前n项和为,,则( )
A.44 B.48 C.52 D.56
7．双曲线的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8．已知,分别是函数,的零点,则( )
A. B. C.3 D.4
二、多项选择题
9．已知a是方程的实根，则下列各数为正数的是( )
A. B. C. D.
10．如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成,,,G是上的动点.则( )
A.G为的中点时,平面平面BCG
B.G为的中点时,平面ADG
C.存在点G,使得三棱锥体积是8
D.存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为
11．已知函数的定义域为R,且满足,,当时,,则下列结论正确的是( )
A.为偶函数
B.在上单调递增
C.关于点中心对称
D.
三、填空题
12．某不透明纸箱中共有8个小球,其中2个白球,6个红球,它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出4个小球,摸出红球个数为X,则________.
13．已知是函数的零点,则________.
14．设函数,若且,则的取值范围是________.
四、解答题
15．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的最大值为.
（1）求角A;
（2）若点D在BC上,满足,且,,解这个三角形.
16．已知函数（）.
（1）当时,求函数的最小值;
（2）若,求实数的取值范围.
17．某学校准备订做新的校服,有正装和运动装两种风格可供选择,为了解学生和家长们的偏好,学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长,得到以下的列联表:
更喜欢正装 更喜欢运动装
家长 120 80
学生 160 40
（1）根据以上数据,判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异;
（2）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈,再从这5人中任选2人,记这2人中更喜欢正装的家长人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．已知数列满兄,,数列的前n项和为,且.
（1）求数列,的通项公式,
（2）求数列的前项和为.
19．已知点,在双曲线（,）上,直线.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）当且时,
直线l与双曲线C分别交于A,B两点,A关于y轴的对称点为D.证明:直线BD过定点;
（3）当时,直线l与双曲线C有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴,y轴于,两点.当点M运动时,求点的轨迹方程.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以,,
所以,,
,故A,B,C正确,D错误.
故选:D.
2．答案：C
解析：设上午打球为事件A,下午游泳为事件B,
则,,
故,
所以,
所以上午打球的概率为.
故选:C.
3．答案：C
解析：令,,则,
所以在单调递减,因为,所以,
时,不等式化为,即,即,所以,
所以不等式的解集为.
故选:C.
4．答案：A
解析：由,解得,由已知不等式成立的一个必要不充分条件是,所以,则.故选:A.
5．答案：D
解析：根据题意,依次分析选项:
对于A,,是二次函数,不是奇函数,不符合题意;
对于B,,是指数函数,不是奇函数,不符合题意;
对于C,,在区间上为减函数,不符合题意;
对于D,,既是奇函数又在上单调递增,符合题意.
故选:D.
6．答案：C
解析：因为等差数列前n项和为,,
,
故选:C.
7．答案：B
解析：
8．答案：C
解析：
9．答案：BC
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：ABD
解析：因为,所以函数为偶函数,
所以函数的图象关于直线对称,C错误;
由,
可得,
由,
可得,
所以,
所以函数为偶函数,A正确;
因为当时,,
又函数,在上单调递增,
所以函数在上单调递增,
因为,
所以函数为周期函数,6为函数的一个周期,
所以函数在上单调递增,B正确;
因为6为函数的一个周期,,
所以,
又,
所以,D正确.
故选:ABD.
12．答案：3
解析：依题意,摸出红球个数X服从超几何分布,,所以.
故答案为:3.
13．答案：1
解析：
14．答案：
解析：函数,
若且,
如图画出函数的大致图象,
由已知条件可知:,
,
,
,
,
,,
由,
故在为减区间,
,
的取值范围是:,
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）,,,,,
解析：（1）由
由题意及三角函数的性质可知:,即,
又,;
（2）如图所示,易得,
(负值舍去),
由余弦定理可得:,,
显然:,由勾股定理逆定理可得,.
综上,,,,,.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,,
可得,,
令,解得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
则函数的最小值为;
（2）由题意有,
又由函数（）单调递减,且,可得,
下面证明:当时,,
由关于的函数（）单调递减,
则有,
由（1）有,故有在时恒成立,
故若,则实数的取值范围为.
17．答案：（1）有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异
（2）
解析：（1）由题可知
更喜欢正装 更喜欢运动装 总计
家长 120 80 200
学生 160 40 200
总计 280 120 400
则,
因为,所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异.
（2）座谈的家长中更喜欢正装的人数为,更喜欢运动装的人数为.
由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,
则,,,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,,
数列是以为首项,1为公差的等差数列,
,
;
,
当时,,即,
当时,,所以,即,
当时,,;
（2）由（1）得
,
,
作差可得,
.
19．答案：（1）
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）由点,在双曲线,
即,解得,
所以双曲线方程为;
（2）由已知,设,,
联立直线与双曲线,得,
则,,即,且,
,,
又点A与D关于y轴的对称,
则,
所以,
即,
即,恒过定点;
（3）由已知直线,,且,
联立直线与双曲线,可得,
则,,
即,,
所以,,代入直线可得,
即,
所以直线,即,
所以,,
即,可得.
