安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合，则集合A的子集共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2．已知或，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A.， B.， C.， D.，
4．一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有( )
A. B. C. D.
5．函数在上是单调函数，则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．函数的图象是( )
A. B. C. D.
7．设函数，若，则( )
A.9 B.4 C.9或-4 D.9或4
8．已知函数t的定义域为I，任取，当时恒有成立，且存在正数m使得，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、多项选择题
9．下列命题中，真命题的是( )
A.， B.平行四边形的对角线互相平分
C.对任意的，都有 D.菱形的两条对角线相等
10．下面命题是真命题的是( )
A.若，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
11．某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是( )
A.前2年的产品产量增长速度越来越快
B.前2年的产品产量增长速度越来越慢
C.第2年后，这种产品停止生产
D.第2年后，这种产品产量保持不变
12．对，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是( )
A.， B.，
C.函数的值域为 D.方程有两个实数根
三、填空题
13．集合，用列举法表示集合_____________.
14．已知幂函数满足①函数图象不经过原点；②，，写出符合上述条件的一个函数解析式_____________.
15．已知且，则的最小值为_____________.
16．关于x的方程有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____________.
四、解答题
17．已知全集，集合，或，.
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围.
18．（1）解不等式；
（2）解关于x的不等式.
19．已知，，，求证：
（1）；
（2）.
20．已知的定义域为，且恒成立.
（1）求a的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明你的结论.
21．某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(万元)，它们与投入资金m(万元)的关系为：，.现投入300万元资金生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.
（1）设对乙种产品投入资金x(万元)，求总利润y(万元)关于x的函数；
（2）如何分配投入资金，才能使总利润最大 并求出最大总利润.
22．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若，，使得成立，求实数a的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由已知可得集合A的子集有，，，，共有4个
综上所述，答案选择：C
2．答案：D
解析：因为q是p的充分不必要条件，即，，所以或，
所以.
故选：D
3．答案：A
解析：A项，的定义域为全体实数，的定义域也为全体实数，且两者的值域均为非负实数，故A项正确；
B项，的定义域为全体实数，的定义域为，故B项错误；
C项，的定义域为全体实数，的定义域为，故C项错误；
D项，的定义域为全体实数，的定义域为，故D项错误。
故本题正确答案为A.
4．答案：D
解析：设矩形长宽分别为a，b，则，，由基本不等式，可得.
对于A，，不合题意，故A错误；
对于B，，不合题意，故B错误；
对于C，，不合题意，故C错误；
对于D，，符合题意，故D正确.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，
所以b的取值范围是.
故选：A.
6．答案：B
解析：
7．答案：C
解析：当时，，解得
或(舍去)，
当时，，解得，
综上可知，或，
故选C.
8．答案：C
解析：令则，故
即为定义域内的奇函数，令得，解得，所以，故，即函数周期为4m，所以，，故答案为C.
9．答案：AB
解析：对于A，因为方程的，所以方程有实数根，所以A正确；
对于B，由平行四边形的性质可知B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，由菱形的性质可知D错误.
故选AB
10．答案：ACD
解析：对于A，，，则，即，故A正确；
对于B，，，又，所以，故B错误；
对于C，，，即，故C正确；
对于D，，
，
，，则，即，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：根据题意，根据给定的年产量y与时间t的函数关系图，可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确；第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确.故选：AD.
12．答案：BCD
解析：对A：当时，，故A错误；
对B：因为对，表示不超过x的最大整数，所以，故B正确；
对C：由B可知，所以，因为对于，表示不超过x的最大整数，所以，即，所以的值域为，所以C正确；
对D：由可得，令，，
则方程有两个实数根等价于两函数的图象有2个交点，作出图像如下：
由图可知，方程有两个实数根，故D正确；
故选：BCD
13．答案：
解析：由题意可知为6的因数，
，，，
综上所述，答案：
14．答案：
解析：因为幂函数满足①函数图象不经过原点，所以，即，
因为幂函数满足②，，
所以在上单调递减，所以，综上，，
所以函数符合条件.
故答案为：.
15．答案：
解析：
，
当且仅当，即
，时，等号成立
综上所述，答案为：
16．答案：
解析：解析原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图像，如图所示：
平移直线，可得当时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a的范围为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1），；
（2），，，
18．答案：（1）或；
（2）答案见解析
解析：（1）
或.
不等式组的解集为或
（2）①当时，原不等式化为，解集为
②当时，原不等式化为，解集为或
③当时，原不等式化为.
当时，，原不等式的解集为空集；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1），，，，
，(当且仅当时等号成立)
（2），，，
.
（当且仅当时，即，时等号成立）
20．答案：（1）；
（2）为上的增函数，证明见解析
解析：（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，即，故.
（2）由（1）可知，.函数在上为增函数.
证明如下：
任取，所以，，所以，
所以，故为上的增函数
21．答案：（1），其定义域为；
（2）当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大，为130万元
解析：（1）根据题意，对乙种产品投资x(万元)，对甲种产品投资(万元)，
那么总利润，
由解得，
所以，其定义域为
（2）令，因为，故，
则，
所以当，即时，，
所以当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大，为130万元
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
设，，，
则，.
由已知性质得，在递减，在递增，
，又，，，
则的值域为
（2）为减函数，故，.
由题意，的值域是的值域的子集，
，
