2023~2024学年河北保定高一上学期期中数学试卷（六校联盟11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知全集为R，集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
2、函数 的定义城为（ ）
A.
B.(1+∞)
1
C. (-1, ) (1,+ )
2
1
D. ,1)U(1,+ )
2
3、已知函数 则 （ ）
A．8 B． C． D．
4、当 时，函数 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数 （ ）
A.2
B.
C.4
D.2或
6、设甲： ，乙：已知函数 在 上单调递增，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
7、已知 ，在 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、定义在R上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知 ， ，则下列不等式中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、若不等式 的解集是 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 且
B.
C.
D.不等式 的解集是
11、设函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数
C.函数 为奇函数
D.函数 的图像关于点 中心对称
12、设 ， 为两个正数，定义 ， 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，则有：
，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出
了“Lehmer均值”，即 ，其中 为有理数．如： ．
下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、命题“ ， ”的否定是 ．
14、已知 ，则实数 的值为 ．
15、函数 的值域为 .
16、已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使得
，则 的取值范围 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值..
18、（本小题12分）
已知集合 ， ．
(1)若 ，求 R ；
(2)若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
19、（本小题12分）
函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ．
(1)、求函数 在 的解析式；
(2)、当 时，若 ，求实数m的值．
20、（本小题12分）
已知函数 是定义在 上的奇函数．
(1)判断函数 的单调性并用定义加以证明；
(2)求使 成立的实数 的取值范围．
21、（本小题12分）
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前
年的支出成本为 万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前 年的总盈利额为
万元．
(1)写出 关于 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以2 0万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处 理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22、（本小题12分）
已知函数 的定义域为 ，并且满足下列条件：① ；②对任意 ，都有
；③当 时， .
(1)证明： 为奇函数.
(2)解不等式 .
(3) 若 对任意的 ， 恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
由题设 或 ，又 ，
所以 共有3个元素，故其子集个数为 .
故选：D
2、
<答 案>:
D
<解析>:
由 ，
可得： ，解得： 且 ，
因此正确答案为：D.
3、
<答 案>:
B
<解析>:
略
4、
<答 案>:
B
<解析>:
∵ ，∴
∴
当且仅当 时，即 等号成立
∴函数 的最小值为
因此正确答案为：B.
5、
<答 案>:
B
<解析>:
因函数 是幂函数，则 ，即 ，解得 或
，
当 时，函数 在 上递增，则 ，
当 时，函数 在 上递减，不符合要求，
实数 .
因此正确答案 为：B
6、
<答 案>:
A
<解析>:
∵ 在 上单调递增，
由 的对称轴为 ，开口向上，
∴ ，即 ，
故甲是乙的充分不必要条件.
因此正确答案为：A.
7、
<答 案>:
C
<解析>:
由已知， 在 上单调递减，
∴ ， .①
在 上单调递减，
∴ 解得 ，②
且当 时，应有 ，
即 ，∴ ，③
由①②③得， 的取值范围是 ，
因此正确答案为：C.
8、
<答 案>:
C
<解析>:
解：因为函数 满足对任意的 ，有 ，
即 在 上单调递减，又 是定义在R上的偶函数，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，函数的大致图像可如下所示：
所以当 时 ，当 或 时 ，
则不等式 等价于 或 ，
解得 或 ，即原不等式的解集为 ；
故选：C
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;C
<解析>:
由题设 ，故 ，A错；
由 ，则 ，B错；
由题设 ，则 ，C错；
由题设 ，则 ，又 ，故 ，D对.
故选：ABC
10、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
因为 的解集为 ，解集属于两根之内的情况，所以 ，
又因为 ，所以 ；
A． ，与题意相符；
B．因为 ，所以 ，与 题意相符；
C．因为解集为 ，所以 ，与题意不相 符；
D．因为 即为 ，即 ，解得 ，与题意相符；
因此正确答案为：ABD.
11、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
由 ，可得 ，则选项B判断正确；
则 ，则选项A断正确；
由 定义域不关于原点对称，
可知函数 不为奇函数，则选项C断错误；
由 的图像关于原点中心对称，可得函数 的图像
关于点 中心对称，则选项D断正确.
故选：ABD
12、
<答案 >:
A;C
<解析>:
A： ，故A对；
B： ，故B错；
C： ， ，
而 ，故C对；
D：由柯西不等式， ，故D错.
故选：AC.
三、填空题
13、
<答案 >:
，
<解析>:
由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为 ， .
故答案为： ，
14、
<答案 >:
<解析>:
因为 ，
当 时，那么 ，不满足集合元素的互异性，不符合题意，
当 时， ，此时集合为 ，符合题意，
所以实数 的值为 ，
故答案为： ．
15、
<答案 >:
<解析>:
令 ，则 ，
可得： ，
∵函数 的对称轴为 ，
∴当 时，函数 取到最大值 ，
即函数 的最大值为 ，故函数 的值域为 .
因此正确答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意知 ；
当 时， ，
故 需同时满足以下两点：
①对 时，
∴ 恒成立，
由于当 时， 为增函数，
∴ ；
②对 时， ，
∴ 恒成立，
由于 ，当且仅当 ，即 时取得等号，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)64
(2)18
<解析>:
（1）∵ ， ， ，
∴ ，当且仅 当 时取等号，
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为64.
（2）∵ ，则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为18.
18、
<答案 >:
(1) ；
(2) 或 .
<解析>:
（1）由 ，则 R 或 ，
若 ，则 ，
所以 R ．
（2）若 是 的必要条件，则 ．
当 时，即 时， ，符合题意；
当 时，即 时， ，要满足 ，可得 ，解得
；
综上，实数 的取值范围为 或 ．
19、
<答案 >:
(1)、
；
(2)、
或 .
<解析>:
(1)、令 ，则 ，由 ，此时 ；
(2)、由 ， ，所以 ，解得 或 或
（舍）.
20、
<答案 >:
(1) 在 上是增函数，证明见解析；
(2) .
<解析>:
（1）定义在 上的奇函数，所以 ，所以 ，
当 时， ，满足 ，故 满足题意.
在 上是增函数,证明如下：
设 且 ，
则 ；
因为 且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 在 上是增函数；
（2）由 ，得
由（1）知 在 上是增函数，
所以 ，即 ，解得 ．
所以实数 的取值范围是 ．
21、
<答案 >:
(1) ，该设备从第2年开始实现总盈利；
(2)方案二更合适，理由见解析.
<解析>:
（1）通过题意可得 ，
由 得 ，又 ，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额 ，
当 时， 取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为 万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当 ，即 时等号成立；
即 时，平均盈利额最大，此时 ，
此时处理掉设备，总利润为 万元．
综上所述两种方案获利都是180万元，但方案二仅需 要三年即可，故方案二更合适．
22、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
(3)
<解析>:
（1）由题意函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
令 ，则 ，故 .
令 ，则 ，故 .
故 为奇函数.
（2）任取 ，且 .
由题意 ， ， ，
故 ，即 ，
又 ，故 在 上为减函数.
因为 ，所以 ， ，
故 即 ，
即 ，化简可得 ，解得 .
（3）由（2）知 在 上为减函数，故 在 上最大值为 .
要使 对任意的 ， 恒成立，则 ，即
对任意 恒成立.
又 是关于 的一次函数，故只需 ，
即 ，解得 .
