湖南省长沙市2025届新高三8月摸底考试数学模拟试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足：，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．34 B．35 C．36 D．38
4．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且有，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）．
A．若是无理数，是有理数，则是无理数
B．若，则
C．若“，”是真命题，则
D．已知，是方程的两个实根，则
10．若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ）
A． B．点是函数的对称中心
C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴
11．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，设它的第n项，若序列的所有项都是2，且，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，则 ．
13．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为 ．
14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为 .
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
16．如图，直三棱柱中，，为上一点，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若直三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积．
18．在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.
(1)当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；
(2)若累计得分为的概率为，（初始得分为分，）
①求的表达式().
②求获得亚军的概率.
19．已知函数．
当时，求函数的单调增区间；
若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
若，且对任意，，，都有，求实数a的最小值．
参考答案：
1．D
2．C
3．B
4．A
5．A
6．B
7．D
8．B
9．BCD
10．AB
11．BC
12．
13．
14．
15．(1)．
(2)．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）方法一（几何法）:如图，作交于点，交于点，连接，
因为，
所以，所以，
所以由等面积可得，
由勾股定理得，
所以，所以，
又，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为直三棱柱平面平面，平面平面，
所以平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
方法二（向量法）：因为，
所以，所以，
由题知平面，又平面，
所以两两垂直，
以点为原点，以所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得平面的一个法向量为，
因为，
所以，平面平面.
（2）因为直三棱柱的体积为，所以，解得，
所以，
由题知平面，又平面，
所以两两垂直，
以点为原点，以所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为
设二面角的大小为，则，
易知为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．(1)，；
(2).
18．(1)分布列见解析，
(2)①；②获得亚军的概率为
【详解】（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，.
，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5 6
（2）①当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则，
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
则，所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
②由①得，，，，
各式累加得：.
而，所以.
所以获得冠军的概率：.
所以获得亚军的概率为：.
19．（1） （2） （3）
