辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·辽宁月考）在正项等比数列中，已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024高二下·辽宁月考）如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程．已知，，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2024高二下·辽宁月考）图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·辽宁月考）下列说法中正确的有（ ）
A．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数；
B．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强；
C．设随机变量，则；
D．某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3
5．（2024高二下·辽宁月考）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·辽宁月考）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互为对立事件 B．
C． D．事件与事件相互不独立
7．（2024高二下·辽宁月考）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．成等差数列，公差为－9
C．当且仅当时，取得最大值
D．时，的最大值为33
8．（2024高二下·辽宁月考）设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·辽宁月考）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
10．（2024高二下·辽宁月考）甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生”，则（ ）
A．四名同学看电影情况共有种
B．“每部电影都有人看”的情况共有72种
C．．
D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是
11．（2024高二下·辽宁月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数存在唯一极值点，且
B．令，则函数无零点
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·辽宁月考）设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是 ．
13．（2024高二下·辽宁月考）函数．对于，都有，则实数的取值范围是 ．
14．（2024高二下·辽宁月考）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·辽宁月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
16．（2024高二下·辽宁月考）已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，
①求；
②若对恒成立，求实数的取值范围．
17．（2024高二下·辽宁月考）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
18．（2024高二下·辽宁月考）已知函数，常数．
（1）当时，函数取得极小值-2，求函数的极大值．
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”，
①求函数在点处的切线方程；
②求实数的取值范围．
19．（2024高二下·辽宁月考）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．
（1）已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”；
（2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列的公比为
，或（舍）
则
故答案为：B
【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比，进而化简求值即可．
2．【答案】C
【知识点】散点图；回归分析
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，
所以，
回归方程 必过样本中心点，即过点，故，解得，
故答案为：C.
【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出.
3．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：记的长度构成的数列为，
由题意知，，且均为直角三角形，所以，且，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，由，所以.所以第个三角形的面积为.
故答案为：B．
【分析】记的长度构成的数列为，依题意可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的定义求出的通项，再根据三角形面积公式计算即可.
4．【答案】D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态分布定义；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、设原来30个样本数据从小到大排列为，则，
所以分位数为，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据，可得，
可得，所以分位数为，，故A错误；
B、若两组成对数据的样本相关系数分别为，
可得，所以则组数据比组数据的线性相关性强，故B错误；
C、设随机变量，可得，
则，故C错误；
D、设得分为随机变量，则的可能取值为，
可得，，
所以参加游戏得分的期望为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据百分位数的计算方法即可判断A；根据相关系数的概念即可判断B；根据正态分布的定义和期望、方差的性质即可判断C；设得分为随机变量，得到的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望即可判断D.
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，整理得，
设，，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，即，
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，作出函数图象，
如图所示：
由题意可知：有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
则，解得，
令，则，
可知，
即切点坐标为，则切线方程为，
代入点可得：，解得，
且，则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，将问题转化为有两个不同的根，结合单调性和最值求解即可.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，
事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚质地均匀的骰子两次的样本点数共种，
事件B的样本点为共18种，
“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，
事件C的样本点为共有12种，所以，B错误；
事件的样本点为共6种，
所以，C正确；
因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故答案为：C.
【分析】根据列举法、对立事件的定义以及独立事件对各个选项进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等差数列的性质；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，所以数列是以32为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
则，
因为，所以；
A、因为，所以是以为公差的等差数列，故A错误；
B、因为，所以，
所以，
因为，所以成等差数列，公差为，故B错误；
C、，对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，故C错误；
D、由，得，且，所以的最大值为33，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，再利用可求出，再逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；斜率的计算公式；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
不等式转化为，
两边除以，可得，易知直线：恒过定点，
函数图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线的上方，作出函数图象，如图所示：
由图象可知，点，则直线的斜率的取值范围为，
即.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，将不等式转化为，作出函数与直线的图象，数形结合求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、若数列是等差数列，，
所以，则，所以使的最大正整数的值为30，故A错误；
B、若是等比数列，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以，故B正确；
C、若是等比数列，则，故C错误；
D、若，所以，
所以，所以，即，所以，
所以数列是以为首项，为公差的递增的等差数列，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意，根据等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合；条件概率
【解析】【解答】解：A、由题可知每人均有3种选择，则四名同学看电影情况共有种，故A正确；
B、将四名志愿者分组为2，1，1型，共有种分法，再将其分到三个活动中，共有种，
由分步乘法计数原理可得：“每部电影都有人看”的情况有种，故B错误；
C、，，则， 故C正确；
D、 “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影即可判断B；由条件概率即可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项即可判断 D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，显然在单调递增，又，，所以，使得，故A正确；
B、由A得，，使得，即，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒大于0；
由，令，
，当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以，即，即在单调递增，
又时，，所以，由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确；
C、由B得，由恒成立，得在恒成立，
所以，即，故C错误；
D、因为在单调递增，又，，则，
所以，即，
整理得，
不等式两边同除以得，，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由在单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D．
12．【答案】10
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，所以，
即，解得，
则数列的通项公式为，
令，即，解得，即，故使的最小正整数的值是10.
故答案为：10.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，列方程组求得首项、公差，得数列的通项公式为，令，求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，故；
函数定义域为，，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，又，，则，
对，都有，则，即，即，
则实数的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，将问题转化为，列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，可知两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
当第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，
第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
则B盒中恰有7个球的概率为；
当第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
则B盒中恰有7个球的概率为；
故B盒中恰有7个球的概率为.
故答案为：.
【分析】确定出两次取球后B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求解.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，当时，，
所以在上单调递增，，所以，解得，
则实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，分、讨论利用函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性即可；
（2）问题转化为在上恒成立，令，求导利用导数求函数的最值即可求得实数的取值范围．
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以，
即，解得，则
数列中的前项和为，且，①
当时，，
当时，，②
②-①得：，即，则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故．
（2）解： ① 数列中，，
则，
则，
② 由对恒成立，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上：实数的取值范围为．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列式求解即可得；利用与关系可证得数列为等比数列，再由等比数列通项公式即可求得；
（2）①由（1）可得，利用错位相减法求即可；
②分为奇数和为偶数讨论，分离参数，根据数列单调性即可求的取值范围.
17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下；
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）解：因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，
故，．
（3）解：易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
则的所有可能取值为，且服从超几何分布：
，
故所求分布列为
0 1 2 3
可得.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，先零假设，再根据计算公式求得，即可判断；
（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和；
（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，即可得到Y的分布列和期望值．
18．【答案】（1）解：由题意，可得当时，，解得，
则
令，解得或，
当或时，；当时，，
则函数在与上单调递增，在上单调递减，
故当时，有极大值，极大值为.
（2）解：①因为
所以，
所以函数在点处的切线方程为
②若点是函数的“类优点”，
令，常数，
则当时，恒有，
又，且
令，得或
则当时，因为在上单调递增，
所以当时，；
当时，，
故当时，恒有成立
当时，由，得，所以在上单调递减，，
所以在不成立；
当时，由，得，所以在上单调递减，，
所以在不成立，
综上可知，若点是函数的“类优点”，则实数.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据函数的极小值为-2，求得a，再求函数的导函数，利用导数判断函数的单调性求极大值即可；
（2）①利用导数的几何意义即可求切线方程；
②利用给定的定义可得当时，恒成立，再利用导数分类探讨函数的单调性及函数取值情况即可判断求解.
19．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，所以
由，得，解得，
因此数列为“—数列”；
（2）解：①由，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列的通项公式为；
②由①知，，
因为数列为“—数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值为5．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的性质；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，求出首项和公比证明即可；
（2）①根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式；
②根据题意有，构造函数，利用导数可得，即可求解.
辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·辽宁月考）在正项等比数列中，已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列的公比为
，或（舍）
则
故答案为：B
【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比，进而化简求值即可．
2．（2024高二下·辽宁月考）如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程．已知，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】散点图；回归分析
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，
所以，
回归方程 必过样本中心点，即过点，故，解得，
故答案为：C.
【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出.
3．（2024高二下·辽宁月考）图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：记的长度构成的数列为，
由题意知，，且均为直角三角形，所以，且，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，由，所以.所以第个三角形的面积为.
故答案为：B．
【分析】记的长度构成的数列为，依题意可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的定义求出的通项，再根据三角形面积公式计算即可.
4．（2024高二下·辽宁月考）下列说法中正确的有（ ）
A．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数；
B．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强；
C．设随机变量，则；
D．某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3
【答案】D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态分布定义；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、设原来30个样本数据从小到大排列为，则，
所以分位数为，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据，可得，
可得，所以分位数为，，故A错误；
B、若两组成对数据的样本相关系数分别为，
可得，所以则组数据比组数据的线性相关性强，故B错误；
C、设随机变量，可得，
则，故C错误；
D、设得分为随机变量，则的可能取值为，
可得，，
所以参加游戏得分的期望为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据百分位数的计算方法即可判断A；根据相关系数的概念即可判断B；根据正态分布的定义和期望、方差的性质即可判断C；设得分为随机变量，得到的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望即可判断D.
5．（2024高二下·辽宁月考）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，整理得，
设，，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，即，
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，作出函数图象，
如图所示：
由题意可知：有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
则，解得，
令，则，
可知，
即切点坐标为，则切线方程为，
代入点可得：，解得，
且，则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，将问题转化为有两个不同的根，结合单调性和最值求解即可.
6．（2024高二下·辽宁月考）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互为对立事件 B．
C． D．事件与事件相互不独立
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，
事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚质地均匀的骰子两次的样本点数共种，
事件B的样本点为共18种，
“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，
事件C的样本点为共有12种，所以，B错误；
事件的样本点为共6种，
所以，C正确；
因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故答案为：C.
【分析】根据列举法、对立事件的定义以及独立事件对各个选项进行判断即可.
7．（2024高二下·辽宁月考）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．成等差数列，公差为－9
C．当且仅当时，取得最大值
D．时，的最大值为33
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等差数列的性质；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，所以数列是以32为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
则，
因为，所以；
A、因为，所以是以为公差的等差数列，故A错误；
B、因为，所以，
所以，
因为，所以成等差数列，公差为，故B错误；
C、，对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，故C错误；
D、由，得，且，所以的最大值为33，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，再利用可求出，再逐项分析判断即可.
8．（2024高二下·辽宁月考）设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；斜率的计算公式；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
不等式转化为，
两边除以，可得，易知直线：恒过定点，
函数图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线的上方，作出函数图象，如图所示：
由图象可知，点，则直线的斜率的取值范围为，
即.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，将不等式转化为，作出函数与直线的图象，数形结合求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·辽宁月考）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
【答案】B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、若数列是等差数列，，
所以，则，所以使的最大正整数的值为30，故A错误；
B、若是等比数列，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以，故B正确；
C、若是等比数列，则，故C错误；
D、若，所以，
所以，所以，即，所以，
所以数列是以为首项，为公差的递增的等差数列，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意，根据等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项分析判断即可.
10．（2024高二下·辽宁月考）甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生”，则（ ）
A．四名同学看电影情况共有种
B．“每部电影都有人看”的情况共有72种
C．．
D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是
【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合；条件概率
【解析】【解答】解：A、由题可知每人均有3种选择，则四名同学看电影情况共有种，故A正确；
B、将四名志愿者分组为2，1，1型，共有种分法，再将其分到三个活动中，共有种，
由分步乘法计数原理可得：“每部电影都有人看”的情况有种，故B错误；
C、，，则， 故C正确；
D、 “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影即可判断B；由条件概率即可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项即可判断 D.
11．（2024高二下·辽宁月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数存在唯一极值点，且
B．令，则函数无零点
C．若恒成立，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，显然在单调递增，又，，所以，使得，故A正确；
B、由A得，，使得，即，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒大于0；
由，令，
，当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以，即，即在单调递增，
又时，，所以，由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确；
C、由B得，由恒成立，得在恒成立，
所以，即，故C错误；
D、因为在单调递增，又，，则，
所以，即，
整理得，
不等式两边同除以得，，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由在单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·辽宁月考）设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是 ．
【答案】10
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，所以，
即，解得，
则数列的通项公式为，
令，即，解得，即，故使的最小正整数的值是10.
故答案为：10.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，列方程组求得首项、公差，得数列的通项公式为，令，求解即可.
13．（2024高二下·辽宁月考）函数．对于，都有，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，故；
函数定义域为，，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，又，，则，
对，都有，则，即，即，
则实数的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，将问题转化为，列式求解即可.
14．（2024高二下·辽宁月考）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，可知两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
当第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，
第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
则B盒中恰有7个球的概率为；
当第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
则B盒中恰有7个球的概率为；
故B盒中恰有7个球的概率为.
故答案为：.
【分析】确定出两次取球后B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·辽宁月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，当时，，
所以在上单调递增，，所以，解得，
则实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，分、讨论利用函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性即可；
（2）问题转化为在上恒成立，令，求导利用导数求函数的最值即可求得实数的取值范围．
16．（2024高二下·辽宁月考）已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，
①求；
②若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以，
即，解得，则
数列中的前项和为，且，①
当时，，
当时，，②
②-①得：，即，则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故．
（2）解： ① 数列中，，
则，
则，
② 由对恒成立，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上：实数的取值范围为．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列式求解即可得；利用与关系可证得数列为等比数列，再由等比数列通项公式即可求得；
（2）①由（1）可得，利用错位相减法求即可；
②分为奇数和为偶数讨论，分离参数，根据数列单调性即可求的取值范围.
17．（2024高二下·辽宁月考）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下；
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）解：因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，
故，．
（3）解：易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
则的所有可能取值为，且服从超几何分布：
，
故所求分布列为
0 1 2 3
可得.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，先零假设，再根据计算公式求得，即可判断；
（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和；
（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，即可得到Y的分布列和期望值．
18．（2024高二下·辽宁月考）已知函数，常数．
（1）当时，函数取得极小值-2，求函数的极大值．
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”，
①求函数在点处的切线方程；
②求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，可得当时，，解得，
则
令，解得或，
当或时，；当时，，
则函数在与上单调递增，在上单调递减，
故当时，有极大值，极大值为.
（2）解：①因为
所以，
所以函数在点处的切线方程为
②若点是函数的“类优点”，
令，常数，
则当时，恒有，
又，且
令，得或
则当时，因为在上单调递增，
所以当时，；
当时，，
故当时，恒有成立
当时，由，得，所以在上单调递减，，
所以在不成立；
当时，由，得，所以在上单调递减，，
所以在不成立，
综上可知，若点是函数的“类优点”，则实数.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据函数的极小值为-2，求得a，再求函数的导函数，利用导数判断函数的单调性求极大值即可；
（2）①利用导数的几何意义即可求切线方程；
②利用给定的定义可得当时，恒成立，再利用导数分类探讨函数的单调性及函数取值情况即可判断求解.
19．（2024高二下·辽宁月考）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．
（1）已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”；
（2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，所以
由，得，解得，
因此数列为“—数列”；
（2）解：①由，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列的通项公式为；
②由①知，，
因为数列为“—数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值为5．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的性质；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，求出首项和公比证明即可；
（2）①根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式；
②根据题意有，构造函数，利用导数可得，即可求解.
