2023-2024学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在正方体中，直线和直线所成的角为( )
A. B. C. D.
3.已知中内角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知某种设备在一年内需要维修的概率为用计算器产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一年内需要维修，其概率为，由于有台设备，所以每个随机数为一组，代表台设备一年内需要维修的情况，现产生组随机数如下：
据此估计一年内至少有台设备需要维修的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知等腰中，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量满足若，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、都是复数，下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 某学生在上学的路，上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为
B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C. 从，，，中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是
D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
11.如图，棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有( )
A. 直线与直线为异面直线
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 二面角的平面角余弦值为
D. 过点，，的平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______．
13.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______．
14.定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，．
若，，，对应的点在第四象限，求的范围．
若，求的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，是线段的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求三棱锥的体积；
Ⅲ求直线与底面所成角的正切值．
17.本小题分
在中，C.
求角的大小；
若在边上，，且，求的面积．
18.本小题分
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
若有甲年龄，乙年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
19.本小题分
欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数，圆周率，两个单位虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
将复数表示成为虚数单位的形式；
求的最大值；
若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
参考答案
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14.
15.解：由题意知，解得，
故实数的范围为；
，
所以，
所以，故．
当且仅当，所求最大值为．
16.解：Ⅰ证明：如图，连接，设，连接，
底面是边长为的正方形，是中点，
又是线段的中点，，
又平面，平面，
平面；
Ⅱ根据题意可得三棱锥的体积为：
；
Ⅲ取的中点，连接，则，
又底面，底面，
直线与底面所成角为，
又易知，，
，
故直线与底面所成角的正切值为．
17.解：由题意得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
如图，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
解得，
则或舍去，
得，则，
故．
18.解：设这些人的平均年龄为，则岁．
设第百分位数为，即频率之和为．
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为：，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
由于第一组有人，则第四组有人，第五组有人，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为．
19.解：由欧拉公式有
．
由于，，故，
而当时，有．
故的最大值是．
由于，故，而，所以．
故H
利用
利用
利用
利用
利用．
所以．
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