2023-2024学年江西省上饶市洋口中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.关于函数的性质，下列叙述不正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在每一个区间内单调递增
4.已知点，向量，则向量( )
A. B. C. D.
5.已知是第二象限角，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，过点，，作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为( )
A.
B.
C.
D.
8.设，是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则( )
A. B.
C. D. 角的终边在第一象限
10.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积不变
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
11.欧拉公式其中为虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，则( )
A. B. 为纯虚数
C. D. 复数对应的点位于第三象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为______．
13.已知，则 ______．
14.如图所示，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的最大值与最小值之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求单调递增区间；
当时，求函数的值域．
16.本小题分
如图，在中，．
证明：为等边三角形．
试问当为何值时，取得最小值？并求出最小值．
求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调递增区间；
求在区间上的最大值、最小值及相应的的值．
18.本小题分
已知复数，其中是虚数单位，，．
若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点．
证明：平面．
求异面直线与所成角的大小．
求直线与平面所成角的正切值．
参考答案
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14.
15.解：函数的最小正周期为且，
，即，得，
则，
由，，
得，，得，，
即函数的单调递增区间为，．
，，，
当或时，函数取得最小值，函数的最小值为，
当时，函数取得最大值，函数的最大值为，
即函数的值域为
16.解：因为，所以，，
结合，，可得，，
因为，所以为等边三角形．
，
，
则
，
当时，取得最小值，最小值为．
由题意可得，
在中，，
设，则，
所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以的取值范围为．
17.解：，
故；令，，
解得，，
故的单调递增区间为，；
当时，，则，所以，
即的最大值、最小值分别为，，
当时，即时，有最大值为，
当时，即时，有最小值为．
18.解：，且在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
，解得；
，，
若，则，可得，
，．
19.证明：
如图，连接交于点，
因为，分别为，的中点，所以．
因为平面，且平面，
所以平面．
解：因，且，
易得平行四边形，
则有，由得，
故EF与所成角为或其补角．
因为，所以，
即与所成角的大小为；
解：连接，过作于点．
因为平面，且平面，
所以，又且，
所以平面．
因为平面，所以，
又，且，，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为或其补角．
因为正方体的棱长为，所以，，
所以．
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