专题十 二次函数应用题(2)一面积与费用最值
01.(2024·武汉三调)问题背景:为美化校园,某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉,在四个全等三角形(阴影部分)内种植红色花卉,正方形内种植蓝色花卉,剩下四个全等三角形内种植黄色花卉.的长为.红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元元元.
建立模型:设的长为,购买花卉的总费用为元.
（1）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积;
（2）求与之间的函数表达式;
方案决策:
（3）当购买花卉的总费用最少时,求的长.
02.某小型花圃基地计划将如图所示的一块长30m，宽10m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是5m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，C两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过195m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
专题十 二次函数应用题(2)一面积与费用最值
01.(2024·武汉三调)问题背景:为美化校园,某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉,在四个全等三角形(阴影部分)内种植红色花卉,正方形内种植蓝色花卉,剩下四个全等三角形内种植黄色花卉.的长为.红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元元元.
建立模型:设的长为,购买花卉的总费用为元.
（1）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积;
（2）求与之间的函数表达式;
方案决策:
（3）当购买花卉的总费用最少时,求的长.
解:(1)红色花卉的种植面积:,
蓝色花卉的种植面积:,黄色花卉的种植面积:.
(2).
(3).
抛物线的开口向上,当时,有最小值.
此时.设,则.
在Rt中,根据勾股定理得,解得(取正值).
答:当购买花卉的总费用最少时,的长为.
02. 某小型花圃基地计划将如图所示的一块长30m，宽10m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是5m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，C两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过195m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
解：（1）当育苗区的边长为x m时，花卉A的种植区是长（30﹣x）m、宽（10﹣x）m的矩形，花卉B的种植区是长（30﹣5﹣x）m、宽x m的矩形，花卉C的种植区是长（10﹣x）m、宽x m的矩形，
∴花卉A的种植面积是（30﹣x）（10﹣x）＝（x2﹣40x+300）m2，花卉B的种植面积是（30﹣5﹣x）x＝（﹣x2+25x）m2，花卉C的种植面积是（10﹣x）x＝（﹣x2+10x）m2．
故答案为：（x2﹣40x+300），（﹣x2+25x），（﹣x2+10x）；
（2）根据题意得：100（x2﹣40x+300）＝300（﹣x2+10x），
整理得：2x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝7.5．
答：当育苗区的边长为7.5m时，A，C两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉A与B的种植面积之和不超过195m2，
∴x2﹣40x+300+（﹣x2+25x）≤195，
解得：x≥7．
设A，B，C三种花卉的总产值之和是y元，则y＝100（x2﹣40x+300）+200（﹣x2+25x）+300（﹣x2+10x），
∴y＝﹣400x2+4000x+30000，
∴y＝﹣400（x﹣5）2+40000，
∵﹣400＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴当x≥7时，y随x的增加而减小，
∴当x＝7时，y取得最大值，最大值为﹣400×（7﹣5）2+40000＝38400（元）．
答：A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值38400元．
