人教九上第一次月考数学数学提优测试卷
（测试范围：第21章~第22章）
一．选择题（共10小题）
1．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1
2．配方法解方程2x2x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x）2 B．（x）2＝0
C．（x）2 D．（x）2
3．定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
4．若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
5．若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（ ）
A．﹣50 B．﹣46 C．﹣48 D．﹣44
6．无论实数n为何值，y关于x的二次函数y＝﹣4（x﹣n）2﹣3n图象的顶点一定在（ ）
A．直线y＝﹣3x上 B．y轴上
C．直线y＝3x上 D．x轴上
7．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
8．已知二次函数y＝ax2﹣2x（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③④
9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．有下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＜0；③4a2+2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣1＜m＜2．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝ ．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
13．将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 ．
14．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝ ．
15．抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
16．已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 ．
17．如图，P是抛物线y＝x2﹣3x﹣4在第四象限的图象上一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
18．如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 ．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0．
20．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝m+1，求m的值．
22．阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h+m＝1，kn＝1，且开口方向相反，则称y1是y2的“问真二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣4x+3的一个“问真二次函数”． ；
（2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数y1恰是y2的“问真二次函数”，求a的值．
23．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
24．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）．
（1）若该图象经过点A（1，0），B（2，4），求这个二次函数的解析式；
（2）若（x1，y1），（4，y2）在该函数图象上，当y2＞y1时，求x1的取值范围；
（3）该函数图象与x轴只有一个交点时，将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．
25．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
（1）五边形EFBCG的面积为 ；（结果用含有x的代数式表示）
（2）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
26．我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
人教九上第一次月考数学数学提优测试卷
（测试范围：第21章~第22章）
一．选择题（共10小题）
1．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1
【思路点拔】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，解得k的值．注意：二次项系数不为零．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，
得k2﹣1＝0，
解得k＝﹣1或1；
又k﹣1≠0，
即k≠1；
所以k＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
2．配方法解方程2x2x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x）2 B．（x）2＝0
C．（x）2 D．（x）2
【思路点拔】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程2x2x﹣2＝0变形得：x2x＝1，
配方得：x2x，即（x）2．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【思路点拔】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，
整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，
∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
【思路点拔】由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得0，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【解答】解：∵关于x的方程有唯一解，
∴能配成完全平方式，
∵，
∴，
∴0，
∴关于x的方程的唯一解为x，
∵，
∴该解在7和8之间．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法、估算无理数的大小，由方程有唯一解可知该方程可用配方法求解，以此得出该解是解题关键．
5．若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（ ）
A．﹣50 B．﹣46 C．﹣48 D．﹣44
【思路点拔】设较小偶数为x，则较大偶数是x+2，根据两个连续偶数的积为528即可列出方程，解方程求得x的值，再求它们的和即可．
【解答】解：设较小偶数为x，则较大偶数是x+2，
则有x（x+2）＝528，
解得x1＝﹣24，x2＝22（不合题意，舍去），
∴x+2＝﹣24+2＝﹣22，
∴二者之和为（﹣24）+（﹣22）＝﹣46，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能用代数式表示出两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
6．无论实数n为何值，y关于x的二次函数y＝﹣4（x﹣n）2﹣3n图象的顶点一定在（ ）
A．直线y＝﹣3x上 B．y轴上
C．直线y＝3x上 D．x轴上
【思路点拔】首先得出二次函数顶点坐标，进而利用坐标的性质得出所在直线．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣4（x﹣n）2﹣3n，其顶点坐标为：（n，﹣3n），
∴无论n为何实数其图象的顶点都在：直线y＝﹣3x上，
故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，得出顶点坐标是解题关键．
7．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【思路点拔】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
8．已知二次函数y＝ax2﹣2x（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③④
【思路点拔】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，
∴对称轴为直线x0，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x时，y随x的增大而增大，
∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
【思路点拔】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．有下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＜0；③4a2+2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣1＜m＜2．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，x＝1对应函数值小于0判断②，利用最值判断③，利用对称性判断④即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为（3，0）与（4，0）之间，根据对称性可得另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴交点位于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
由图象可知，a+b+c＜0，根据对称轴，得b＝﹣4a，
∴a﹣4a+c＜0
∴c﹣3a＜0，
故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线的最小值为y＝4a+2b+c，
当x＝t时，其函数值为y＝at2+bt+c，
∴4a+2b+c≤at2+bt+c，
∴4a+2b≤at2+bt，
∵a＞0，
∴a（4a+2b）≤a（at2+bt），
∴4a2+2ab≤a2t2+abt，
故③不正确；
∵A（x1，y1）和点B（x2，y2）满足y1＝y2，
∴A（x1，y1）和点B（x2，y2）关于对称轴对称，
∴x1＜2，x2＞2，
∵m＜x1＜x2＜m+3，
∴m＜x1＜2，2＜x2＜m+3，
解得﹣1＜m＜2，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．
二．填空题（共8小题）
11．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝ ﹣3 ．
【思路点拔】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出m的值即可．
【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，
由常数项为0，得到m2﹣9＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，
则m＝﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≤1 ．
【思路点拔】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k
＝4﹣4k．
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴4﹣4k≥0．
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键．
13．将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 5 ．
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x+4＝﹣1+4，
∴（x+2）2＝3，
∴m＝2，n＝3，
∴m+n＝2+3＝5
故答案为：5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
14．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝ ﹣5 ．
【思路点拔】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k，
∵x1x2+2x1+2x2＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k，
综合以上可知实数k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15．抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 （3，5） ．
【思路点拔】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 5 ．
【思路点拔】由a﹣b2＝4得，b2＝a﹣4，代入a2﹣3b2+a﹣15中，化简后配方，即可求出最小值．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴a2﹣3b2+a﹣15
＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣15
＝a2﹣2a﹣3
＝（a﹣1）2﹣4，
∵a＝b2+4，
∴a≥4，
∴当a＝4时，
∴a2﹣3b2+a﹣15的最小值是（4﹣1）2﹣4＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数求最值，熟练掌握配方法是解题关键．
17．如图，P是抛物线y＝x2﹣3x﹣4在第四象限的图象上一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 16 ．
【思路点拔】依据题意，设P（x，x2﹣3x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣2）2+16，从而根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：设P（x，x2﹣3x﹣4），
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣3x﹣4）+2x＝﹣2x2+8x+8＝﹣2（x﹣2）2+16．
∴当x＝2时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为16．
故答案为16．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
18．如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 和 ．
【思路点拔】先根据题意画出图形，先求出D点坐标，当E点在线段BC上时：∠DEB 是△DCE 的外角，∠DEB＝2∠DCB，而∠DEB＝∠DCE+∠CDE，所以此时∠DCE＝∠CDE，有 CE＝DE，可求出BC 所在直线的解析式y＝﹣x+5，设E点（a，﹣a+5）坐标，再根据两点距离公式，CE＝DE，得到关于a的 方程，求解a的值，即可求出E点坐标；当E点在线段CB的延长线上时，根据题中条件，可以证明 BC2+BD2＝DC2 得到∠DBC为直角三角形，延长EB至E′，取BE′＝BE，此时，∠DE'E＝∠DEE'＝2∠DCB，从而证明E′是要找的点，应为 OC＝OB，△OCB 为等腰直角三角形，点E和E′关于B点对称，可以根据E点坐标求出E′点坐标．
【解答】解：根据D点坐标，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3），
设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0），
，
解得，
BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5，
当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有，
解得：，，所以E点的坐标为：，
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18，
BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68，
BD2+BC2＝DC2，
∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE，
则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
则E′为符合题意的点，
∵OC＝OB＝5，∠OBC＝45°，
E′的横坐标：，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 和 ．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况 找到E点的位置，是求解此题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0．
【思路点拔】（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
解得：x1＝4，x2＝﹣4；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）（3x+1）＝0，
x﹣1＝0或3x+1＝0，
解得：x1＝1，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
【思路点拔】设增加了x行，则增加的列数为x列，用增加后的总人数﹣原队伍的总人数＝51列出方程求解即可．
【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x列，
根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理，得：x2+14x﹣51＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣17（舍），
答：增加了3行3列．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝m+1，求m的值．
【思路点拔】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+1）2+20，利用偶次方的非负性，可得出（m+1）2≥0，进而可得出（m+1）2+20＞0，即Δ＞0，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m﹣3，结合x1+x2﹣2x1x2＝m+1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m+3，c＝m﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1×（m﹣3）＝m2+2m+21＝（m+1）2+20，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+20＞0，即Δ＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m﹣3，
又∵x1+x2﹣2x1x2＝m+1，
即﹣（m+3）﹣2（m﹣3）＝m+1，
解得：m，
∴m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）牢记“两根之和等于，两根之积等于”．
22．阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h+m＝1，kn＝1，且开口方向相反，则称y1是y2的“问真二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣4x+3的一个“问真二次函数”． y＝﹣（x+1）2﹣1（答案不唯一） ；
（2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数y1恰是y2的“问真二次函数”，求a的值．
【思路点拔】（1）先将y＝x2﹣2x+2配方求出顶点坐标，然后根据题干中“同倍二次函数”定义求解．
（2）由二次函数的顶点为（a，﹣1），二次函数的顶点坐标为（，4），根据“问真二次函数”定义可得aa＝1，解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴图象顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数y＝x2﹣4x+3的一个“问真二次函数”可以是y＝﹣（x+1）2﹣1，
故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣1．
（2）∵二次函数的顶点为（a，﹣1），
∴二次函数的顶点坐标为（，4），
∵函数y1恰是y2的“问真二次函数”，
∴aa＝1，
解得a＝3．
∵4＝﹣1，
∵﹣1×（﹣1）＝1，符合题意，
∴a＝3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解．
23．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【思路点拔】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）．
（1）若该图象经过点A（1，0），B（2，4），求这个二次函数的解析式；
（2）若（x1，y1），（4，y2）在该函数图象上，当y2＞y1时，求x1的取值范围；
（3）该函数图象与x轴只有一个交点时，将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．
【思路点拔】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用抛物线的解析式求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到点（4，y2）关于对称轴x＝1的对称点为（﹣2，y2），从而根据已知条件确定出点（x1，y1）的大致位置，结论可得；
（2）利用待定系数法求得二次函数的解析式，根据抛物线的对称性，利用分类讨论的思想方法得到m，n的关系式，从而求出m，n的值，结论可求．
【解答】解：（1）∵该图象经过点A（1，0），B（2，4），
∴．解得：．
∴这个二次函数的解析式为y＝4x2﹣8x+4．
（2）∵x1，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1．
∴点（4，y2）关于对称轴x＝1的对称点为（﹣2，y2）．
∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）开口向上．
∵点（x1，y1），（4，y2）在该函数图象上，且y2＞y1，
∴点（x1，y1）在（4，y2）与（﹣2，y2）之间．
∴﹣2＜x1＜4．
∴x1的取值范围为：﹣2＜x1＜4．
（3）∵将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），
∴原抛物线一定经过点（4，6）．
∴16a﹣8a+c＝6．
∵该函数图象与x轴只有一个交点，
∴该函数图象的顶点在x轴上．
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，
∴该函数图象的顶点为（1，﹣a+c）．
∴﹣a+c＝0．
∴．解得：．
∴原抛物4线的解析式为y，
∴平移后的抛物线的解析式为y，顶点为（1，2）．
①当m＜n＜1时，y随x的增大而减小，
∵m＜n，
∴2m＜2n．
∵当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，
∴，解得：无解．
②当m＜1＜n时，ymin＝2，不合题意，舍去；
③当1≤m＜n时，y随x的增大而增大，
∵m＜n，
∴2m＜2n．
∵当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，
∴，
解得：．
∴m﹣n＝﹣3．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，配方法求得抛物线的顶点，二次函数的性质，抛物线的平移的性质，利用待定系数法解答问题是解题顶点关键．
25．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
（1）五边形EFBCG的面积为 x2x+14 ；（结果用含有x的代数式表示）
（2）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
【思路点拔】（1）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．先求出△AEF和△DFG的面积，再得到五边形EFBCG的面积；
（2）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．
S△AEFAE×AFx2，S△DFGDG×DF1×（4﹣x）＝2x，
S五边形EBCGF＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16x2﹣2xx2x+14，
故答案为：x2x+14，
（2）根据题意得4×[20x2+20×（2x）+10×（x2x+14）]＝715，
整理得4x2﹣4x+1＝0，
解得x1＝x2．
答：当AE＝AF米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
26．我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意得到a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，即可求解．
（2）①求出y1的对称轴，得到s＝﹣3r，表示出y2的解析式，即可求解．
②，令3x2+2x＝0，求解即可．
（3）由题意可知，，得到A，B的坐标，表示出CD，EF，根据CD＝EF且b2﹣4ac＞0，得到|a|＝|c|，分情况讨论：1°若a＝﹣c时，2°若a＝c时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，
∴对称轴为x，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴对称轴为x．
答：函数y2的图象的对称轴为x．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴过定点（0，1），（）．
答：函数y2的图象过定点（0，1），（）．
（3）由题意可知，，
∴，
∴CD，EF，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，
2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
