第十五章《分式》章末综合测试卷（解析版）
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，可得答案.
【详解】解：由题意，得：x-2≠0，
解得：x≠2.
故选D.
2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的二分之一
C．扩大2倍 D．扩大4倍
【答案】B
【分析】先根据题目要求给分式中的x和y都扩大2倍，可得；
接下来根据分式基本性质对以上变形式进行化简，再与原式进行比较即可得到答案.
【详解】把分式中的x和y的值都扩大2倍，得,
化简，得.
所以缩小到原来的二分之一.
故答案选B.
3．下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、原式=，不符合题意；
B、原式为最简分式，符合题意；
C、原式=，不符合题意；
D、原式=，不符合题意.
故选B．
4．化简的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x-1 D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式相减，分母不变，将分子相减，再将分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可化简.
【详解】解：原式=.
故答案为A
5．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程．方程两边都乘得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
故选：D．
6．对于非零实数，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴．
又∵，
∴．
解这个分式方程并检验，得．
故选A．
7．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3，
解得：x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：m＜－3，
故选D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原式
故选A.
9．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【考点】分式方程的应用
【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【解答】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时，
∴，
故选：A．
10 .若关于的一元一次不等式组的解集为，
且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是（ ）
A．28 B．-14 C．7 D．56
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得．
【详解】解：解不等式 ，
去分母得： ，
移项合并同类项得：，
的解集为，
由“同小取小”得：；
解分式方程：，
分式方程去分母，得：，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得：，
∵分式方程有正整数解，
，
∴，
，
∴满足条件的整数可以取7，1，
其积为．
故选C．
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题4分，共32分．把答案填在题中横线上．）
11．芯片正在成为需求的焦点，其中的米，
将用科学记数法表示 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
12．若分式的值为0，则x的值为_______
【答案】2
【详解】由题意可知：，
解得：x=2，
故答案为：2
13．当a=2024时，分式的值是 ．
【答案】2025
【分析】首先化简分式，然后把a=2018代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【详解】当a=2018时，
，
=，
=，
=，
=a+1，
=2024+1，
=2025．
故答案为2025．
14．若，则的值为_______
【答案】
【分析】若，则可设a=2k，则b=3k，将其代入分式求解即可.
【详解】∵，
∴设a=2k，则b=3k，
∴.
故答案为：
15..一件工作,甲独做a h完成,乙独做b h完成,则甲、乙两人共同工作需要 h完成.
【答案】
【分析】根据题意列出算式：1÷（+），进一步计算出结果即可．
【详解】根据题意知俩人合作完成此项工作的时间为：
1÷（+）=1÷（）=.
故答案为．
某顾客第一次在商店买若干件小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，
发现每一打（12件）降价元，购买一打以上可以拆零买，
这样，第二次花去4元买同样小商品的件数是第一次的倍．
则他第一次买的小商品是 件．
【答案】20
【分析】设他第一次买的小商品是件，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】设他第一次买的小商品是件，
由题意得，，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
故答案为：．
17．若以x为未知数的方程无解，则 .
【答案】或或.
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，
据此即可求解a的值．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
18.关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为________
【答案】．，
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故答案为：，
三、解答题：（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】（1）x=﹣10；（2）分式方程无解．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：（1）去分母得：100x+700=30x，
移项合并得：70x=﹣700，
解得：x=﹣10，
经检验x=﹣10是分式方程的解；
（2）去分母得：1=x﹣1﹣3x+6，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
“母亲节”前夕，某花店用3000元购进了第一批盒装花，上市后很快售完，
接着又用5000元购进第二批盒装花．已知第二批所购花的进价比第一批每盒少5元，
且数量是第一批盒数的2倍．问第一批盒装花每盒的进价是多少元？
【答案】第一批盒装花每盒的进价是27元
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
【详解】设第一批盒装花每盒的进价是x元，则第二批盒装花每盒的进价是（x﹣5）元，
根据题意得：2×＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列分式方程的解，且符合题意．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
化简分式，
并从0、1、2、3这四个数中取一个合适的数作为 的值代入求值．
【答案】， 时， ；当 时，
【分析】利用分式的运算，先对分式化简，再选择使分式有意义的数代入求值即可．
【详解】解：原式
=
，
∵ ， ，
∴ 且 ，
当 时，原式 ；当 时，原式 ，
故当 时， ；当 时，．
为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．
经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，
如果购买B种健身器材套需要12万元．
(1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
(2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
【答案】(1)A种健身器材的单价为：元；B种健身器材的单价为：元
(2)元
【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键．
（1）根据，列式即可．
（2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可．
【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：；
B种健身器材的单价为：．
（2）解：
，
答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共元
某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．
销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表：
进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套）
茶壶 24 a 55
茶杯 4 a﹣30
备注：（1）一个茶壶和和四个茶杯配成一套（如图）；（2）利润=（售价﹣进价）×数量
（1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个;
（2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同．
① 求表中a的值;
② 当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，
其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套.
【答案】（1）购进茶壶30个，茶杯170个；（2）①a=36；②15套．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意列出分式方程求解即可；
②设成套销售了m套，根据题意列出等式求解即可.
【详解】解：（1）设购进茶壶x个，茶杯y个，可得：，
解得：，
答：购进茶壶30个，茶杯170个；
（2）①由题意得：，
解得：a=36，
②设成套销售了m套，根据题意可得：
（55﹣24﹣4×4）m+（36﹣24）（20﹣m）+（6﹣4）（100﹣4m）=365，
解得：m=15，
答：成套销售了15套．
阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
例如：，这样的分式就是假分式；
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
例如：，这样的分式就是真分式，
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．
类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
【答案】(1)①真；②，
(2)，或或或
(3)36
【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值；
（3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．
【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②，
故答案为：，；
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或；
（3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为，
则个位数字为，，，
，
，
，
，
，
当时，
为正整数，
，
当时，且为正整数，
不可能为整数，
．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第十五章《分式》章末综合测试卷
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2
2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的二分之一
C．扩大2倍 D．扩大4倍
3．下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x-1 D．
5．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．对于非零实数，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，
路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，
走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，
求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，
依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10 .若关于的一元一次不等式组的解集为，
且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是（ ）
A．28 B．-14 C．7 D．56
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题4分，共32分．把答案填在题中横线上．）
11．芯片正在成为需求的焦点，其中的米，
将用科学记数法表示 ．
若分式的值为0，则x的值为_______
13．当a=2024时，分式的值是 ．
14． 若，则的值为_______
15.. 一件工作,甲独做a h完成,乙独做b h完成,则甲、乙两人共同工作需要 h完成.
某顾客第一次在商店买若干件小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，
发现每一打（12件）降价元，购买一打以上可以拆零买，
这样，第二次花去4元买同样小商品的件数是第一次的倍．
则他第一次买的小商品是 件．
17．若以x为未知数的方程无解，则 .
18. 关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为________
三、解答题：（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
(1)；
(2)．
“母亲节”前夕，某花店用3000元购进了第一批盒装花，上市后很快售完，
接着又用5000元购进第二批盒装花．已知第二批所购花的进价比第一批每盒少5元，
且数量是第一批盒数的2倍．问第一批盒装花每盒的进价是多少元？
化简分式，
并从0、1、2、3这四个数中取一个合适的数作为 的值代入求值．
为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．
经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，
如果购买B种健身器材套需要12万元．
(1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
(2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．
销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表：
进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套）
茶壶 24 a 55
茶杯 4 a﹣30
备注：（1）一个茶壶和和四个茶杯配成一套（如图）；（2）利润=（售价﹣进价）×数量
（1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个;
（2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同．
① 求表中a的值;
② 当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，
其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套.
阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
例如：，这样的分式就是假分式；
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
例如：，这样的分式就是真分式，
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．
类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
② 把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，
并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，
个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
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