备战2025年高考数学：导数及其应用各地区模拟题训练
一、选择题
1．（2023·广东模拟）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·邯郸模拟）设函数的图像与x种相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为( )
A． B． C． D．
3．（2024·雅安模拟） 设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·永嘉模拟）集合M={，}则以下可以是 f(x) 的表达式的是( )
A．x B． C． D．
5．（2024·重庆市模拟）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为
A． B．1 C．2 D．e
6．（2024高三下·吉安月考）若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重启模拟） 设函数，点，其中，且，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江模拟） 已知[x] 表示不超过x 的最大整数：，若x=1为函数的极值点，则f([t])=（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2024·永嘉模拟） 已知 ， ，且 则以下正确的是( )
A．a-lna=b+ B．a+b>1 C．b= D．ab≤
10．（2024·诸暨模拟）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的值可以取 B．的值可以取
C．的值关于单调递减 D．
11．（2024·浙江模拟）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于对称
C．在上单调递减 D．当时，
三、填空题
12．（2024·雅安模拟） 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为 ．
13．（2024·雄安模拟）若对于，，使得不等式恒成立，则整数的最大值为 ．
14．（2024·高州模拟）已知函数的图象过点，其导函数的图象如图所示，若函数在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2022·安徽模拟）已知函数．
（1）若，求的最大值；
（2）若，其中，求实数的取值范围．
16．（2022·东北模拟）已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．
17．（2024·雅安模拟） 设函数，．
（1）试研究在区间上的极值点；
（2）当时，，求实数a的取值范围．
18．（2024高三下·社旗模拟） 函数．
（1）当时，证明：；
（2）讨论函数零点个数．
19．（2024·金华模拟）设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，
①均有，则记；
②均有，则记.
（1）设，求；
（2）设.若对于任意，均有，求的取值范围；
（3）已知对于任意 与均存在.证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的 与中至少一个成立”.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】C,D
12．【答案】
13．【答案】0
14．【答案】
15．【答案】（1）解：当时，，则．
令，则，
在上单调递减．
又，
存在使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
有最大值．
另法：当时，，令，
则，其中，，
当时，单调递增；当时，单调递减，故，即的最大值为
（2）解：令，
由题意知的取值应满足函数有两个零点．
易得，
若，则，在上单调递增，
至多有一个零点，不符合题意，舍去；
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
要使函数有两个零点，则
易知．
令，则，
令，则，
在上单调递增，
在上单调递减，
由知在和上各有一个零点，
则实数的取值范围为．
另法：令，
由题意知m的取值应满足函数有两个零点，
若，易知单调递增，不符合题意，舍去；
若，由知，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
又，且时，，解得，
故实数的取值范围为．
16．【答案】（1）解：，则，
由已知，解得
（2）解：
（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（3）证明：方法一：
等价于
当时，
令
令，则在区间上单调递增
∵，
∴存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴，故
方法二：
当时，
令，则，
令，则
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增．
∴，即
∴，
17．【答案】（1）解： 函数，求导得，
令，求导得，设，则，
当时，，当且仅当时取等号，
则在上单调递增，即有，
于是函数在上单调递增，因此，所以在区间上没有极值点.
（2）解： 由（1）知，当，则，
设，求导得，设，求导得，则函数在上单调递增，有，即，函数在上单调递增，于是，即，则对任意的恒成立，
当时，，则当时，对任意的恒成立，
当时，设，求导得，显然，而函数在上的图象连续不断，则存在实数，使得对于任意的，均有，
因此函数在上单调递减，则当时，，即，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围为
18．【答案】（1）解： 当时，，所以，令得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
从而，不等式得证
（2）解： 令，则，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
又，当时，；当时，．
从而当时，无零点；当或时，有一个零点；
当时，有两个零点．
19．【答案】（1）解：因为，故在上为严格增函数，
因此.
（2）解：因为，而，
因为，故是在处的切线
而存在极值点，而，可得到如下情况：
极小值 极大值
情况一：当时，此时，此时，不符题意舍去.
情况二：当时，此时与在上均为严格增函数，
因此当时，恒成立，因此，
而在上成立，进而，故.
（3）解：先证明必要性：若为上的严格增函数，则任取，，因为，
所以或或或，因为为上的严格增函数，所以可得：
或或或，所以不难可得：，所以或成立.
同时对为上的严格减函数，同理可证.
下面证明充分性：当与其中一式成立时，不可能为常值函数，先任取，总有或，
假设存在，使得，记，
则，因为存在，则或，不妨设，则，否则当，此时，矛盾，进而可得，则，因此①.
最后证明为上的严格减函数，任取，需考虑如下情况：
情况一：若，则，否则，
记，则，
，同理若，
所以，根据①可得：.
情况二：若，则，否则，
，由此矛盾，因为，同情况一可得矛盾，
因此.
情况三：若，同上述可得，，
所以.
情况四：若，同上述可得，.
情况五情况七同情况一情况四可知，可证明恒成立.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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