第1章直线与方程同步练习卷-2024-2025学年高二数学上学期苏教版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．直线过第一、二、四象限的充要条件是（ ）
A．， B． C．， D．，
2．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或
C．直线l的斜率可以等于0
D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或
4．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ）
A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形
5．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θ B． C． D．
6．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各对直线互相平行的是（ ）
A．直线经过点，直线经过点
B．直线经过点，直线经过点
C．直线经过点，直线经过点
D．直线经过点，直线经过点
8．如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
9．已知直线，直线，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点
10．下列说法中错误的是（ ）
A．不过原点的直线都可以用方程表示
B．若直线，则两直线的斜率相等
C．过两点，的直线都可用方程表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
11．同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ．
13．下列说法正确的是 ．
①直线恒过定点；
②直线在y轴上的截距为1；
③直线的倾斜角为150°；
④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为．
14．设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ．
四、解答题
15．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值．
16．设直线l的方程为．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
17．设直线l的方程为．
(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程；
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．
18．已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
19．如图，已知，，，直线．
(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
参考答案：
1．A
【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案.
【详解】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，
即，即，，
故选：A
2．C
【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解.
【详解】设的倾斜角为，
由题意可知：直线的斜率，
即，且，所以.
故选：C.
3．C
【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误.
【详解】直线的方程可化为，
所以直线过定点，故A正确；
因为直线与轴的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，
而直线的斜率为，所以或，
所以或，故B正确；
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，
不可能等于，故C错误；
当时，直线在轴上的截距不存在，
当时，令，得，
令，得，令，
得，故D选项正确.
故选：C.
4．D
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】当，方程为；
以代替x方程不变，曲线关于y轴对称；
以代替y方程不变，曲线关于x轴对称；
以、代替x、y方程不变，曲线关于原点对称；
∴曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；
∴方程的曲线围成的封闭图形是一个
以、、、为顶点的菱形．
故选：D．
5．C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
故选：C
6．B
【分析】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标.
【详解】设曲线：上的点的坐标为，，
则点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为.
故选：B.
7．A
【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论.
【解答过程】对于A，因为，所以，故A对；
对于B，因为，所以直线不平行，故B错；
对于C，由直线经过点，，直线经过点，，
得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错；
对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在，
而，所以直线不平行，故D错.
故选：A.
8．D
【分析】
建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示
则记为“▲”的四个点是，
线段的中点分别为，
易知四边形为平行四边形，设其对角线交于，
则.
由此求得与点重合，
根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.
而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；
过点和的直线有且仅有一条.
所以符合条件的点是，故3个.
故选：D.
9．BC
【分析】
通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误.
【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确；
对于B，时，，因为，所以，B正确；
对于C，当时，且，解得，
此时，与之间的距离为，C正确；
对于D，，令，解得，
所以直线过定点，D不正确.
故选：BC.
10．ABD
【分析】
根据两直线的位置关系判断B、D，根据截距式方程的定义判断A，根据两点式方程判断C.
【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；
对于B：和的斜率有可能不存在，故B错误；
对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，
直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确；
对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于轴，
直线斜率存在，但不一定斜率为，所以两直线不一定垂直，故D错误.
故选：ABD
11．BC
【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断.
【详解】因为，，
对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故A错误；
对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确；
对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确．
对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故D错误.
故选：BC.
12．或
【分析】方程化为，根据函数的单调性分为和来讨论，利用单调性求最值即可求解.
【详解】方程化为，
当时，为增函数，
则，解得，
此时方程为，即；
当时，为减函数，
则，解得，
此时方程为，即；
综上：此直线的一般式方程为或.
故答案为：或.
13．③
【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④.
【详解】直线即直线，当时，，
即直线恒过定点，①错误；
直线，即在轴上的截距为，②错误；
直线的斜率为，则倾斜角为150°，③正确；
因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，
当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为，
所以直线的方程为或，④错误.
故答案为：③.
14．2或
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由题意可得，解得或，
故答案为：2或
15．，，．
【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解.
【详解】由已知得，
整理，得，
看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由，
（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和；
（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点到的距离为．
（1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合；
（2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合．
综上，满足题意的实数为，，．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键.
16．(1)或．
(2)存在，．
【分析】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得.
（2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意，
则，直线在轴上的截距分别为，
依题意，，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
所以直线的方程为或．
（2）假设存在实数，使直线不经过第二象限，
而直线的方程化为，
则有，解得，
所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标.
(2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程.
(3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可.
【详解】（1）由得，则，解得，
∴不论a为何值，直线l必过一定点；
（2）由，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号．
，，
∴直线方程为．
（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数，
，，
∴直线l的方程为．
18．(1)
(2)能，
【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.
【详解】（1）因为可化为，所以与的距离为．
因为，所以．
（2）设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即，
所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），
联立方程和，解得，
所以即为同时满足条件的点.
19．(1)证明见解析，定点坐标为；
(2)；
(3)．
【分析】
（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；
（2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程；
（3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程.
【详解】（1）
直线可化为，
令，解得，故直线经过的定点坐标为；
（2）
因为，，，所以，
由题意得直线方程为，
故直线经过的定点在直线上，所以，
设直线与交于点，所以，
即，所以，
设，所以，即，
所以，，所以，
将点坐标代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为；
（3）
设关于的对称点，关于的对称点，
直线的方程为，即，
直线的方程为，所以，
解得，所以，
由题意得四点共线，，由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即．
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