广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2023-2024学年七年级下学期中数学试题
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·南海期中）下列四幅图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：ACD中图形不是轴对称图形，B中图形是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的图形的定义，图形可以沿着某一条直线，直线两边的图形可以完全重合，即可求得.
2．（2024七下·南海期中）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为 ，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000012= ．
故答案为：A．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2024七下·南海期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项逐项判断即可。
4．（2024七下·南海期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵13+11＞20，∴长度分别为13、11、20的三根木棍能摆成三角形，故此选项符合题意；
B、∵3+7=10，∴长度分别为3、7、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵6+8＜16，∴长度分别为6、8、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵3+3＜7，∴长度分别为3、3、7的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，故用长度较小的两个木棍的长度和与最长木棍的长度进行比较即可得出答案.
5．（2024七下·南海期中）已知一个等腰三角形有一个角为80°，则顶角是（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°；
（2）当80°为底角时，得顶角=180°-2×80°=20°．
故顶角为80°或20°．
故答案为：C．
【分析】分两种情况，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
6．（2024七下·南海期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）.
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的重心的定义“三角形重心是三角形三边中线的交点”并结合网格图的特征可判断求解.
7．（2024七下·南海期中）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。
∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠1，
∵∠B=45°，∠1=25°，
∴∠AED=45°+25°=70°
∵m∥n，
∴∠2=∠AED=70°。
故答案为：C。
【分析】设直线n与AB的交点为E。由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。
8．（2024七下·南海期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列结论中，不能得到△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝BD B．∠A＝∠D
C．AB＝CD D．∠EBC＝∠ECB
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：∠ABC＝∠DCB，BC=CB，
A、添加AC＝BD，不能得到△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
B、添加∠A＝∠D，可利用角角边得到△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、添加AB＝CD，可利用边角边得到△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D、添加∠EBC＝∠ECB，利用角边角得到△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
9．（2024七下·南海期中）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3=∠4可判断出，不符合题意；
B、∠1=∠2可判断出，符合题意；
C、可判断出，不符合题意；
D、可判断出，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
10．（2024七下·南海期中）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶.设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B-C-D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．慢车的速度为125km/h
D．快车的速度为 km/h
【答案】D
【知识点】函数的图象；分段函数
【解析】【解答】A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误；
B、B C D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地故本选项错误；
C、慢车的速度= (km/h)；故本选项错误；
D、快车的速度= (km/h)；故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】观察图像可知点B表示快车与慢车出发4小时两车相遇，可对A作出判断；B C D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地，可对B作出判断，分别算出慢车和快车的速度，可对C、D作出判断，即可得出答案。
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·南海期中）如图，电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑的理论根据是 .
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑运用了三角形的稳定性
【分析】理论根据是：三角形具有稳定性。
12．（2024七下·南海期中）已知的补角是它余角的3倍，则为 .
【答案】45°或45度
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得，180°-∠α=3（90°-∠α），
解得，∠α=45°，
故答案为：45°.
【分析】根据补角和余角的定义，列出等式，即可求得.
13．（2024七下·南海期中）若 是一个完全平方式，则m的值是 ．
【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
14．（2024七下·南海期中）如图，在中，，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则的度数是 ．
【答案】14°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，
∵△CDE是△CDA翻折得到，
∴∠CED＝∠A＝52°，
在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，
即52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
【分析】由三角形内角和定理求出∠B=38°，由折叠的性质可得∠CED＝∠A＝52°，再根据三角形外角的性质可得∠CED＝∠B+∠EDB，从而得解.
15．（2024七下·南海期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H.下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵ BE是中线，
∴ AE=CE，
∴ △ABE与△BCE是等底同高的三角形，
∴ ，故①正确；
∵ CF是角平分线，
∴ ∠ACF=∠BCF，
∵ ∠BAC=90°，AD是高，
∴ ∠AFG=90°-∠ACF，∠CGD=90°-∠BCF，
∵ ∠AGF=∠CGD，
∴ ∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵ ∠ACD+∠DAC=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∠ACD=2∠ACF，
∴ ∠FAG=2∠ACF，故③正确；
而④无法证明，
故答案为：①②③.
【分析】根据三角形的中线的定义可得AE=CE，即可判断①；根据角平分线的定义可得∠ACF=∠BCF，根据高的定义可得∠ADC=90°，根据等角的余角相等和对顶角相等可得∠AFG=∠AGF，即可判断②；根据同角的余角相等即可判断③；而④无法证明.
三、解答题（一）：（16~20题，每小题5分，共25分）
16．（2024七下·南海期中）计算：
【答案】解：原式=3-1+=.
【知识点】零指数幂；乘方的相关概念；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据有理数的绝对值，零指数幂和平方计算，再化简，即可求得.
17．（2024七下·南海期中）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式=x2-xy+2xy-2y2-（x2-4xy+4y2），
=x2-xy+2xy-2y2-x2+4xy-4y2，
=5xy-6y2，
将x=1，y=-2代入，
原式=5×1×（-2）-6×(-2)2，
=-10-24，
=-34.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据多项式乘多项式法则和完全平方差公式化简，再将x和y的值代入，即可求得.
18．（2024七下·南海期中）如图，已知，.说明的理由.
【答案】解：∵ ∠A=∠C，
∴ AB∥CD，
∴ ∠B=∠D，
∵ EF∥DB，
∴ ∠B=∠AEF，
∴ ∠AEF=∠D.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质可得∠B=∠D，∠B=∠AEFF，即可求得.
19．（2024七下·南海期中）已知：CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A＝70°∠ABC＝60°求∠BMC的度数.
【答案】解：∵∠A=70°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB= ×50°=25°，
∵BF是△ABC的高，
∴∠CFM=90°，
∴∠BMC=∠ACD+∠CFM=25°+90°=115°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形内角和定理计算出 ∠ACB 的度数，根据角平分线的定义由 ∠ACD= ∠ACB 算出∠ACD的度数，根据垂直的定义得出 ∠CFM=90° ，最后根据三角形外角定理由 ∠BMC=∠ACD+∠CFM 算出答案。
20．（2024七下·南海期中）已知和线段b、c，求作，使，，.（不写作法，保留痕迹）
【答案】解：如图，△ABC即为所求.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】先画∠A=∠α，在截取AB=c，AC=b，连接BC，即可求得△ABC.
四、解答题（二）：（21~22题，每小题8分，23题10分，共26分）
21．（2024七下·南海期中）已知：如图，在和中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若，，，
求证：
（1）；
（2）
【答案】（1）证明：∵ AD∥BC，
∴ ∠D=∠B，
∵ BF=DE，
∴ BF+FE=DE+EF，即BE=DF，
∵ AD=BC，
∴ △ADF≌△CBE（SAS），
∴ AF=CE；
（2）解：∵ △ADF≌△CBE，
∴ ∠AFD=∠CEB，
∴ AF∥CE.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D=∠B，根据BF=DE推出BE=DF，依据SAS判定 △ADF≌△CBE，即可求得AF=CE；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFD=∠CEB，根据平行线的判定即可求得AF∥CE.
22．（2024七下·南海期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
23．（2024七下·南海期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米，小明在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟；
（3）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分；
（4）小明出发多长时间离家1200米？
【答案】（1）1500；4
（2）2700；14
（3）12分钟至14分钟；450
（4）解：设 分钟时，小明离家1200米，
则 或 ，解得 ，
即小明出发6分钟或 分钟离家1200米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，
小明家到学校的路程是1500米，小明在书店停留了： （分钟），
故答案为：1500，4；
（2）本次上学途中，小明一共行驶了： （米 ，一共用了14（分钟），
故答案为：2700，14；
（3）由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，
最快的速度为： 米/分钟，
故答案为：12分钟至14分钟，450；
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据函数图象直接求解即可；
（3）由函数图象可以得到哪段的速度最快，进而求得相应的速度；
（4）根据函数图象和图象中的数据，可以解答本题。
五、解答题（三）：（24~25题，每小题12分，共24分）
24．（2024七下·南海期中）数形结合是一种重要的数学思想方法.数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题：
（1）小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张（空格处填写数字）
（2）观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
（3）运用你所得的公式，计算：当，，请求出的值.
（4）现将一张A卡片放在B卡片的内部得图3，将一张A卡片和一张B卡片并列放置后构造新的正方形得图4.若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的边长.
【答案】（1）3；1；4
（2）(b+a)2-(b-a)2=4ab；
（3）∵ （m+n)2-(m-n)2=4mn，
∴ （m+n)2=(m-n)2+4mn=52+4×(-3)=13，
∴ m+n=；
（4）根据题意得，(b-a)2=6，且(a+b)2-a2-b2=15，
解得，2ab=15，
∴ (a+b)2=(b-a)2+4ab=6+15×2=36，
∴ a+b=6.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵ (3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2，A纸片面积为a2，B纸片面积为b2，C纸片面积为ab，即需要A纸片3张，B纸片1张，C纸片4张；
（2）∵ 大正方形的面积-小正方形的面积=4个长方形的面积，
∴ (b+a)2-(b-a)2=4ab；
故答案为：（1）3；1；4；
（2）(b+a)2-(b-a)2=4ab；
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，再计算出各纸片的面积，数形结合，即可求得；
（2）根据图形可知大正方形的面积-小正方形的面积=4个长方形的面积，即可求得；
（3）根据（2）中得到公式，直接计算即可；
（4）根据图形可得(b-a)2=6，且(a+b)2-a2-b2=15，再根据（2）中的公式计算即可.
25．（2024七下·南海期中）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度；
（2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求.
（3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由.
【答案】（1）45
（2）解：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠N=∠M=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ NC=AM=6，BN=CM=2，
∴ MN=NC+CM=AM+BN=8；
（3）AM+MN=BN，
理由：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠CNB=∠AMC=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ CN=AM，BN=CM，
∴ MN=CM-CN=BN-AM，
即MN=BN-AM.
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠C=90°，AC=BC，
∴ ∠B=45°，
∵ AB∥MN，
∴ ∠2=∠B=45°；
故答案为：（1）45；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，根据平行四边形的性质，即可求得；
（2）根据垂直的定义可得∠N=∠M=90°，根据同角的余角相等可得∠NBC=∠MCA，依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CN+CM，即可求得；
（3）同（2）依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CM-CN，即可求得.
广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2023-2024学年七年级下学期中数学试题
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·南海期中）下列四幅图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·南海期中）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为 ，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·南海期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·南海期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．（2024七下·南海期中）已知一个等腰三角形有一个角为80°，则顶角是（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．不能确定
6．（2024七下·南海期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）.
A．点D B．点E C．点F D．点G
7．（2024七下·南海期中）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
8．（2024七下·南海期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列结论中，不能得到△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝BD B．∠A＝∠D
C．AB＝CD D．∠EBC＝∠ECB
9．（2024七下·南海期中）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·南海期中）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶.设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B-C-D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．慢车的速度为125km/h
D．快车的速度为 km/h
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·南海期中）如图，电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑的理论根据是 .
12．（2024七下·南海期中）已知的补角是它余角的3倍，则为 .
13．（2024七下·南海期中）若 是一个完全平方式，则m的值是 ．
14．（2024七下·南海期中）如图，在中，，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则的度数是 ．
15．（2024七下·南海期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H.下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（一）：（16~20题，每小题5分，共25分）
16．（2024七下·南海期中）计算：
17．（2024七下·南海期中）先化简，再求值：，其中，.
18．（2024七下·南海期中）如图，已知，.说明的理由.
19．（2024七下·南海期中）已知：CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A＝70°∠ABC＝60°求∠BMC的度数.
20．（2024七下·南海期中）已知和线段b、c，求作，使，，.（不写作法，保留痕迹）
四、解答题（二）：（21~22题，每小题8分，23题10分，共26分）
21．（2024七下·南海期中）已知：如图，在和中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若，，，
求证：
（1）；
（2）
22．（2024七下·南海期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
23．（2024七下·南海期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米，小明在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟；
（3）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分；
（4）小明出发多长时间离家1200米？
五、解答题（三）：（24~25题，每小题12分，共24分）
24．（2024七下·南海期中）数形结合是一种重要的数学思想方法.数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题：
（1）小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张（空格处填写数字）
（2）观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
（3）运用你所得的公式，计算：当，，请求出的值.
（4）现将一张A卡片放在B卡片的内部得图3，将一张A卡片和一张B卡片并列放置后构造新的正方形得图4.若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的边长.
25．（2024七下·南海期中）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度；
（2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求.
（3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：ACD中图形不是轴对称图形，B中图形是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的图形的定义，图形可以沿着某一条直线，直线两边的图形可以完全重合，即可求得.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000012= ．
故答案为：A．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵13+11＞20，∴长度分别为13、11、20的三根木棍能摆成三角形，故此选项符合题意；
B、∵3+7=10，∴长度分别为3、7、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵6+8＜16，∴长度分别为6、8、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵3+3＜7，∴长度分别为3、3、7的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，故用长度较小的两个木棍的长度和与最长木棍的长度进行比较即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°；
（2）当80°为底角时，得顶角=180°-2×80°=20°．
故顶角为80°或20°．
故答案为：C．
【分析】分两种情况，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的重心的定义“三角形重心是三角形三边中线的交点”并结合网格图的特征可判断求解.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。
∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠1，
∵∠B=45°，∠1=25°，
∴∠AED=45°+25°=70°
∵m∥n，
∴∠2=∠AED=70°。
故答案为：C。
【分析】设直线n与AB的交点为E。由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：∠ABC＝∠DCB，BC=CB，
A、添加AC＝BD，不能得到△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
B、添加∠A＝∠D，可利用角角边得到△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、添加AB＝CD，可利用边角边得到△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D、添加∠EBC＝∠ECB，利用角边角得到△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3=∠4可判断出，不符合题意；
B、∠1=∠2可判断出，符合题意；
C、可判断出，不符合题意；
D、可判断出，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】函数的图象；分段函数
【解析】【解答】A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误；
B、B C D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地故本选项错误；
C、慢车的速度= (km/h)；故本选项错误；
D、快车的速度= (km/h)；故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】观察图像可知点B表示快车与慢车出发4小时两车相遇，可对A作出判断；B C D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地，可对B作出判断，分别算出慢车和快车的速度，可对C、D作出判断，即可得出答案。
11．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑运用了三角形的稳定性
【分析】理论根据是：三角形具有稳定性。
12．【答案】45°或45度
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得，180°-∠α=3（90°-∠α），
解得，∠α=45°，
故答案为：45°.
【分析】根据补角和余角的定义，列出等式，即可求得.
13．【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
14．【答案】14°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，
∵△CDE是△CDA翻折得到，
∴∠CED＝∠A＝52°，
在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，
即52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
【分析】由三角形内角和定理求出∠B=38°，由折叠的性质可得∠CED＝∠A＝52°，再根据三角形外角的性质可得∠CED＝∠B+∠EDB，从而得解.
15．【答案】①②③
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵ BE是中线，
∴ AE=CE，
∴ △ABE与△BCE是等底同高的三角形，
∴ ，故①正确；
∵ CF是角平分线，
∴ ∠ACF=∠BCF，
∵ ∠BAC=90°，AD是高，
∴ ∠AFG=90°-∠ACF，∠CGD=90°-∠BCF，
∵ ∠AGF=∠CGD，
∴ ∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵ ∠ACD+∠DAC=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∠ACD=2∠ACF，
∴ ∠FAG=2∠ACF，故③正确；
而④无法证明，
故答案为：①②③.
【分析】根据三角形的中线的定义可得AE=CE，即可判断①；根据角平分线的定义可得∠ACF=∠BCF，根据高的定义可得∠ADC=90°，根据等角的余角相等和对顶角相等可得∠AFG=∠AGF，即可判断②；根据同角的余角相等即可判断③；而④无法证明.
16．【答案】解：原式=3-1+=.
【知识点】零指数幂；乘方的相关概念；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据有理数的绝对值，零指数幂和平方计算，再化简，即可求得.
17．【答案】解：原式=x2-xy+2xy-2y2-（x2-4xy+4y2），
=x2-xy+2xy-2y2-x2+4xy-4y2，
=5xy-6y2，
将x=1，y=-2代入，
原式=5×1×（-2）-6×(-2)2，
=-10-24，
=-34.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据多项式乘多项式法则和完全平方差公式化简，再将x和y的值代入，即可求得.
18．【答案】解：∵ ∠A=∠C，
∴ AB∥CD，
∴ ∠B=∠D，
∵ EF∥DB，
∴ ∠B=∠AEF，
∴ ∠AEF=∠D.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质可得∠B=∠D，∠B=∠AEFF，即可求得.
19．【答案】解：∵∠A=70°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB= ×50°=25°，
∵BF是△ABC的高，
∴∠CFM=90°，
∴∠BMC=∠ACD+∠CFM=25°+90°=115°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形内角和定理计算出 ∠ACB 的度数，根据角平分线的定义由 ∠ACD= ∠ACB 算出∠ACD的度数，根据垂直的定义得出 ∠CFM=90° ，最后根据三角形外角定理由 ∠BMC=∠ACD+∠CFM 算出答案。
20．【答案】解：如图，△ABC即为所求.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】先画∠A=∠α，在截取AB=c，AC=b，连接BC，即可求得△ABC.
21．【答案】（1）证明：∵ AD∥BC，
∴ ∠D=∠B，
∵ BF=DE，
∴ BF+FE=DE+EF，即BE=DF，
∵ AD=BC，
∴ △ADF≌△CBE（SAS），
∴ AF=CE；
（2）解：∵ △ADF≌△CBE，
∴ ∠AFD=∠CEB，
∴ AF∥CE.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D=∠B，根据BF=DE推出BE=DF，依据SAS判定 △ADF≌△CBE，即可求得AF=CE；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFD=∠CEB，根据平行线的判定即可求得AF∥CE.
22．【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
23．【答案】（1）1500；4
（2）2700；14
（3）12分钟至14分钟；450
（4）解：设 分钟时，小明离家1200米，
则 或 ，解得 ，
即小明出发6分钟或 分钟离家1200米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，
小明家到学校的路程是1500米，小明在书店停留了： （分钟），
故答案为：1500，4；
（2）本次上学途中，小明一共行驶了： （米 ，一共用了14（分钟），
故答案为：2700，14；
（3）由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，
最快的速度为： 米/分钟，
故答案为：12分钟至14分钟，450；
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据函数图象直接求解即可；
（3）由函数图象可以得到哪段的速度最快，进而求得相应的速度；
（4）根据函数图象和图象中的数据，可以解答本题。
24．【答案】（1）3；1；4
（2）(b+a)2-(b-a)2=4ab；
（3）∵ （m+n)2-(m-n)2=4mn，
∴ （m+n)2=(m-n)2+4mn=52+4×(-3)=13，
∴ m+n=；
（4）根据题意得，(b-a)2=6，且(a+b)2-a2-b2=15，
解得，2ab=15，
∴ (a+b)2=(b-a)2+4ab=6+15×2=36，
∴ a+b=6.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵ (3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2，A纸片面积为a2，B纸片面积为b2，C纸片面积为ab，即需要A纸片3张，B纸片1张，C纸片4张；
（2）∵ 大正方形的面积-小正方形的面积=4个长方形的面积，
∴ (b+a)2-(b-a)2=4ab；
故答案为：（1）3；1；4；
（2）(b+a)2-(b-a)2=4ab；
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，再计算出各纸片的面积，数形结合，即可求得；
（2）根据图形可知大正方形的面积-小正方形的面积=4个长方形的面积，即可求得；
（3）根据（2）中得到公式，直接计算即可；
（4）根据图形可得(b-a)2=6，且(a+b)2-a2-b2=15，再根据（2）中的公式计算即可.
25．【答案】（1）45
（2）解：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠N=∠M=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ NC=AM=6，BN=CM=2，
∴ MN=NC+CM=AM+BN=8；
（3）AM+MN=BN，
理由：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠CNB=∠AMC=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ CN=AM，BN=CM，
∴ MN=CM-CN=BN-AM，
即MN=BN-AM.
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠C=90°，AC=BC，
∴ ∠B=45°，
∵ AB∥MN，
∴ ∠2=∠B=45°；
故答案为：（1）45；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，根据平行四边形的性质，即可求得；
（2）根据垂直的定义可得∠N=∠M=90°，根据同角的余角相等可得∠NBC=∠MCA，依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CN+CM，即可求得；
（3）同（2）依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CM-CN，即可求得.
