专题十五 一元二次方程的几何应用（3）——综合题
01.(2022外校)如图,在中,,且关于的方程有两个相等实数根.
（1）判断的形状;
（2）若平分,且为方程的两根,试确定与的数量关系,并说明理由.
02.(2024七一华源月考) 如图，点B为线段AD上一点，CB⊥AD，以CD为斜边作等腰Rt△CDE，若线段AB、CB长为关于x的一元二次方程x2﹣4kx+4k2＝0的两个根．
（1）试判定此一元二次方程的根的情况；
（2）求证：AE＝ED；
（3）若△AED与△CED的面积比2：3，BD＝a，则 （直接写出答案）．
专题十五 一元二次方程的几何应用（3）——综合题
01.(2022外校)如图,在中,,且关于的方程有两个相等实数根.
（1）判断的形状;
（2）若平分,且为方程的两根,试确定与的数量关系,并说明理由.
解:(1),方程有两个相等实根,
是直角三角形.
（2）过作的垂线,作的垂线.
平分(AAS),,
方程有两个相等的实数根,.
又.
02.(2024七一华源月考) 如图，点B为线段AD上一点，CB⊥AD，以CD为斜边作等腰Rt△CDE，若线段AB、CB长为关于x的一元二次方程x2﹣4kx+4k2＝0的两个根．
（1）试判定此一元二次方程的根的情况；
（2）求证：AE＝ED；
（3）若△AED与△CED的面积比2：3，BD＝a，则 （直接写出答案）．
【思路点拔】（1）根据Δ＝（﹣4k）2﹣4×1×4k2＝0，判断作答即可；
（2）由（1）易知AB＝CB，连接BE，延长BD到点F，使得BF＝CB＝AB，由等腰直角三角形的性质可得：∠F＝∠BCF＝45°，CFBC；∠ECD＝45°，CE＝CD，CDCE，则，由等角加同角相等可得∠ECB＝∠DCF，以此证明△ECB∽△DCF，得到∠CBE＝∠CFD＝45°，于是可通过SAS证明△ABE≌△CBE（SAS），进而可得AE＝ED；
（3）解x2﹣4kx+4k2＝0，得x1＝x2＝2k，即AB＝CB＝2k，则AD＝2k+a，连接BE，过点E作EH⊥AD于点H，易得AH＝DH，BHEH，由勾股定理得DE2，由题意得，整理得，以此求解即可．
【解答】（1）解：由一元二次方程x2﹣4kx+4k2＝0可知Δ＝（﹣4k）2﹣4×1×4k2＝0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根；
（2）证明：由（1）可知，一元二次方程x2﹣4kx+4k2＝0有两个相等的实数根，
∵线段AB、CB的长为关于x的一元二次方程x2﹣4kx+4k2＝0的两个根，
∴AB＝CB，
如图，连接BE，延长BD到点F，使得BF＝CB＝AB，
∵CB⊥AD，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠F＝∠BCF＝45°，CFBC，
∴，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴∠ECD＝45°，CE＝CD，CDCE，
∴，
∵∠ECB+∠BCD＝∠DCF+∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCF，
又∵，
∴△BCE∽△FCD，
∴∠CBE＝∠CFD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝45°＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE＝ED；
（3）解：解一元二次方程x2﹣4kx+4k2＝0可得x1＝x2＝2k，
∴AB＝CB＝2k，
∴AD＝AB+BD＝2k+a，
如图，连接BE，过点E作EH⊥AD于点H，
由（2）知，AE＝DE，∠ABE＝45°，
∴AH＝DH，EH＝BH，
∴BH＝AB﹣AH＝2kEH，
在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，
∵DE＝CE，
∴DE CE＝DE2，
∵△AED与△CED的面积比2：3，
∴，
整理得：，
∴（负值已舍去）．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰（直角）三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
