第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
第1课时 一元二次方程（1）
提优目标
1.能判断一个方程是否是一元二次方程.
2.会将一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0),能够确定一元二次方程的二次项及其系数、一次项及其系数和常数项.
基础巩固
1．若关于x的方程（m－2）x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m≥2 D．m≠0
【思路点拔】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得
m－2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．x2＋2xy＋y2＝0 B．x2－2x＋3＝0
C． D．ax2＋bx＋c＝0
【思路点拔】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可．
【解答】解：A、方程x2＋2xy＋y2＝0含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程x2－2x＋3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、方程的分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、当a＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.
3．关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．－3
【思路点拔】先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：将x2＋mx＝3x＋5化为一般形式，得x2＋（m－3）x－5＝0，
∵关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，
∴m－3＝0，
解得：m＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
4．关于x的方程x2a－1＋x＝6是一元二次方程，则a的值为 1.5 ．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义得出2a－1＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵方程x2a－1＋x＝6是一元二次方程，
∴2a－1＝2，
解得：a＝1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出2a－1＝2是解此题的关键．
5．将一元二次方程2x2＝5x－3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 －5 ．
【思路点拔】根据题意正确得出一元二次方程的一般形式，进而可得到答案．
【解答】解：∵一元二次方程2x2＝5x－3化成一般形式之后，二次项的系数是2，
∴化成的一般形式为2x2－5x＋3＝0，
∴一次项系数为－5．
故答案为：－5．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．
6．（教材P3例·变式）将方程2x（x－1）＝3（x＋5）－4化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
【思路点拔】将已知方程化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，其中a是二次项系数．
【解答】解：去括号，得2x2－2x＝3x＋15－4，
移项、合并同类项，得2x2－5x－11＝0，
∴二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－11．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
思维拓展
7．如果方程x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3
C．－3 D．以上都不对
【思路点拔】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵方程x＋3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2－7＝2，解得m＝±3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1＋x）2＝23 B．23（1－x）2＝16
C．23－23（1－x）2＝16 D．23（1－2x）＝16
【思路点拔】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1－x）万元，5月份的售价为23（1－x）（1－x）＝23（1－x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1－x）2＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽．每株脚钱三文足,无钱准与一株椽．”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于―株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是()
A.3(x－1)＝6210 B.3(x－1)＝6210
C.(3x－1)x＝6210 D.3x＝6210
【思路点拔】先求出每株的价格,再根据题意列出等式即可.
【解答】解:由颗意,每株的价格为，少拿一株后数量一共是x－l株,运费是3(x－l)，
∴＝3(x－1).即3x (x—1)＝6210.
故选:A.
10．（教材P2问题1·变式）如图，有一面积为75m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为30m，设AB为x m，则可列方程为 x（30－3x）＝75 ．
【思路点拔】先根据题意得到BC的长，再根据长方形的面积公式列方程即可．
【解答】解：设垂直墙的边长为AB为x m，BC为（30－3x）m，
则x（30－3x）＝75，
故答案为：x（30－3x）＝75．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
11．若关于x的一元二次方程（a）x2－（4a2－1）x＋1＝0的一次项系数为0，则a的值为 ．
【思路点拔】利用一元二次方程定义进行计算即可．
【解答】解：由题意得：－（4a2－1）＝0，且a0，
解得：a，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12．已知关于x的方程（m－2）x|m|＋x－2m＝0是一元二次方程，求m的值．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m－2）x|m|＋x－2m＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2且m－2≠0，
解得m＝±2且m≠2，
∴m的值为－2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c都是常数且a≠0的方程叫做一元二次方程．
13．关于x的一元二次方程2（x－1）2＋b（x－1）＋c＝0化为一般形式后为2x2－3x－1＝0，试求b，c的值．
【思路点拔】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2＋（b－4）x＋2－b＋c＝0，于是得到b－4＝－3，2－b＋c＝－1，然后解方程得到b、c的值．
【解答】解：2（x2－2x＋1）＋bx－b＋c＝0，
2x2＋（b－4）x＋2－b＋c＝0，
所以b－4＝－3，2－b＋c＝－1，
解得b＝1，c＝－2．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
14．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
（1）a：b：c＝3：4：5，且a＋b＋c＝36；
（2）（a－2）2＋|b－4|0．
【思路点拔】（1）设一份为k，表示出a，b及c，代入a＋b＋c＝36列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【解答】解：（1）设一份为k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴3k＋4k＋5k＝12k＝36，
解得：k＝3，
∴a＝9，b＝12，c＝15，
则方程为9x2＋12x＋15＝0；
（2）∵（a－2）2＋|b－4|0，
∴a－2＝0，b－4＝0，c－6＝0，
解得：a＝2，b＝4，c＝6，
则方程为2x2＋4x＋6＝0．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，求出a，b及c的值是解本题的关键．
15．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m＋1）（m－2）x－1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并写出此方程；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在m，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）方程（m＋1）（m－2）x－1＝0是一元二次方程，说明x的最高次数是2，且二次项的系数不等于0；
（2）若（m＋1）中x的次数是1，方程中两个一次项的系数之和不等于0．若（m＋1）中x的次数是0，一次项（m－2）x的系数不等于0．
【解答】解：（1）存在．
由一元二次方程的定义可得m2＋1＝2且m＋1≠0，
解得m＝1；
（2）存在．
由题意可知，当或时为一元一次方程．
当时，解得m＝0，此时方程为－x－1＝0，解得x＝－1；
当时，解得m＝－1，此时方程为－3x－1＝0，解得x．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
延伸探究
16．若xa－3xa－b＋1＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．
下面是两位同学的解法：
甲生：根据题意得解方程组得
乙生：依题意，得或，解方程组得或
你认为上述两位同学的解答是否正确？为什么？如果不对，请给出正确的答案．
【思路点拔】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．
【解答】解：上述两位同学的解法都不正确，
∵xa－3xa－b＋1＝0是关于x的一元二次方程，
∴①，
解得；
②，
解得；
③，
解得；
④，
解得；
⑤，
解得．
综上所述，；；；；．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
第1课时 一元二次方程（1）
提优目标
1.能判断一个方程是否是一元二次方程.
2.会将一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0),能够确定一元二次方程的二次项及其系数、一次项及其系数和常数项.
基础巩固
1．若关于x的方程（m－2）x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m≥2 D．m≠0
2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．x2＋2xy＋y2＝0 B．x2－2x＋3＝0
C． D．ax2＋bx＋c＝0
3．关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．－3
4．关于x的方程x2a－1＋x＝6是一元二次方程，则a的值为 ．
5．将一元二次方程2x2＝5x－3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
6．（教材P3例·变式）将方程2x（x－1）＝3（x＋5）－4化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
思维拓展
7．如果方程x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3
C．－3 D．以上都不对
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1＋x）2＝23 B．23（1－x）2＝16
C．23－23（1－x）2＝16 D．23（1－2x）＝16
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽．每株脚钱三文足,无钱准与一株椽．”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A.3(x－1)＝6210 B.3(x－1)＝6210
C.(3x－1)x＝6210 D.3x＝6210
10．（教材P2问题1·变式）如图，有一面积为75m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为30m，设AB为x m，则可列方程为 ．
11．若关于x的一元二次方程（a）x2－（4a2－1）x＋1＝0的一次项系数为0，则a的值为 ．
12．已知关于x的方程（m－2）x|m|＋x－2m＝0是一元二次方程，求m的值．
13．关于x的一元二次方程2（x－1）2＋b（x－1）＋c＝0化为一般形式后为2x2－3x－1＝0，试求b，c的值．
14．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
（1）a：b：c＝3：4：5，且a＋b＋c＝36；
（2）（a－2）2＋|b－4|0．
15．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m＋1）（m－2）x－1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并写出此方程；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在m，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；若不存在，请说明理由．
延伸探究
16．若xa－3xa－b＋1＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．
下面是两位同学的解法：
甲生：根据题意得解方程组得
乙生：依题意，得或，解方程组得或
你认为上述两位同学的解答是否正确？为什么？如果不对，请给出正确的答案．
