勾股定理与实数 基础巩固训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共34小题）
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【思路点拔】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
2．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【思路点拔】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
【思路点拔】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．
【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，
∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【思路点拔】把长方体沿AB边剪开，再根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长，
AA′＝4+2+4+2＝12，A′B′＝AB＝9，
由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝122+92＝225，
则AB′＝15，
故选：B．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．
【思路点拔】首先根据立方根的定义化简，然后根据平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
又∵（±2）2＝4，
∴的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义（注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根）．
6．下列选项中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据分母有理化的方法和最简二次根式定义进行解题即可．
【解答】解：A、＝4，故不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝＝，不符合题意；
D、＝＝＝，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查分母有理化和最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
7．已知点P（x，y），且+|y+4|＝0，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【思路点拔】首先依据非负数的性质确定出x、y的值，然后再确定出所在的象限即可．
【解答】解：∵+|y+4|＝0，
∴x＝2，y＝﹣4．
∴点P在第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
8．下列实数中，（ ）是无理数．
A．﹣3.1416 B． C．﹣ D．
【思路点拔】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．
【解答】解：A、﹣3.1416是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
9．若，则表示实数a的点会落在如图所示数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
【思路点拔】先利用二次根式的乘法法则运算得到a＝﹣2，再利用无理数的估算得到1＜﹣2＜2，然后对各选项进行判断．
【解答】解：a＝﹣2
＝﹣2，
∵9＜14＜16，
∴3＜＜4，
∴1＜﹣2＜2，
即1＜a＜2，
∴表示实数a的点会落在如图所示数轴的段②上．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了无理数的估算．
10．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】估算出的整数部分和小数部分，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：因为＜＜，即2＜＜3，
所以的整数部分是2，小数部分是（﹣2），
即a＝2，b＝﹣2，
所以2a+b＝4+﹣2＝2+，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，求出的整数部分和小数部分是解决问题的关键．
11．实数a在数轴上的位置如图所示，则﹣化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【思路点拔】根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：5＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
则原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4+a﹣11＝2a﹣15，
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．下列判断不正确的是（ ）
A．3是9的平方根
B．6是（﹣6）2的算术平方根
C．﹣5是25的算术平方根
D．19的算术平方根是
【思路点拔】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）3是9的平方根，故选项A正确；
（B）6是（﹣6）2＝36的算术平方根，故选项B正确；
（C）﹣5是25的平方根，5是25的算术平方根，故选项C错误；
（D）19的算术平方根是，故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．
13．下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】利用无理数的估算即可求得答案．
【解答】解：∵4＜5＜7＜9＜13＜16＜17＜25，
∴2＜＜＜3＜＜4＜＜5，
则大小在3与4之间的是，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
14．下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ）
①有两个内角互余的三角形；
②三边长分别为0.3，0.4，0.5的三角形；
③三边之比为3：4：5的三角形；
④三个内角的比是1：2：3的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，分别进行计算判断即可．
【解答】解：①有两个内角互余的三角形是直角三角形，故①符合题意；
②∵0.32+0.42＝0.52，
∴三边长分别为0.3，0.4，0.5的三角形是直角三角形，故②符合题意；
③设三边分别为3k，4k，5k，
∵（3k）2+（4k）2＝9k2+16k2＝25k2＝（5k）2，
∴三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形，故③符合题意；
④∵三内角之比为1：2：3的三角形的三个内角分别为30°、60°、90°，
∴三内角之比为1：2：3的三角形是直角三角形，故④符合题意；
综上所述，一定是直角三角形的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
15．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
【思路点拔】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，
∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．的算术平方根为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【思路点拔】直接根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵＝9，32＝9
∴的算术平方根为3．
故选：C．
【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
17．△ABC三边之比为3：4：5，其周长24，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．24 C．12 D．6.8
【思路点拔】设三角形的三边是3x，4x，5x，根据周长公式可求得三边的长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，再根据面积公式即可求得其面积．
【解答】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，则
3x+4x+5x＝24，
解得x＝2
∴三角形的三边是6，8，10，
∵62+82＝102，
∴△ABC为直角三角形，
∴三角形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，能够根据三边的比值和周长计算三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，从而计算其面积即可．
18．如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝＝2，，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣＝，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
【思路点拔】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
20．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
【思路点拔】连续自然数，两数的差是1，较大的是斜边，根据勾股定理就可解得．
【解答】解：设另一直角边为a，斜边为a+1．
根据勾股定理可得，（a+1）2﹣a2＝92．
解之得a＝40．则a+1＝41，则直角三角形的周长为9+40+41＝90．
故选：C．
【点评】本题综合考查了勾股定理，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
21．若三角形的三边长a、b、c满足（a﹣7）2+|b﹣24|+|c﹣25|＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
【思路点拔】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【解答】解：由题意得，a﹣7＝0，b﹣24＝0，c﹣25＝0，
解得a＝7，b＝24，c＝25，
∵a2+b2＝72+242＝49+576＝625，
c2＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
22．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米
【思路点拔】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子上沿的最短距离即可解答．
【解答】解：如图所示：最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
PA'＝＝＝10cm，
最短路程为PA'＝10cm．
故选：B．
【点评】此题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
23．如图，已知圆柱底面的周长为12m，圆柱高为4m，BC为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为（ ）m．
A． B． C． D．
【思路点拔】将圆柱侧面展开，根据勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：如图，将圆柱侧面展开，则AC长即为从点A爬到点C的最短距离，
AC＝＝＝2（m），
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键．
24．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．13 C．7 D．14
【思路点拔】根据勾股定理计算即可求解．
【解答】解：由勾股定理可得，
斜边长为：＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
25．正方形ABCD的对角线AC的长是12cm，则边长AB的长是（ ）
A．6 B．2 C．6 D．8
【思路点拔】根据正方形的性质即可求出其边长AB的长度．
【解答】解：在正方形ABCD中，
AB＝BC，
∴由勾股定理可知：AB2+BC2＝AC2，
∴x＝6，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度，本题属于基础题型．
26．有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
【思路点拔】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝＝10m．
故选：B．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
27．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2﹣b2＝c2 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
【思路点拔】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
B、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°×＝75°，故△ABC不是直角三角形；
D、∵52+122＝132，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
28．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2 B．8的立方根是±2
C． D．
【思路点拔】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再选出即可．
【解答】解：A、4的平方根是±2，故本选项正确；
B、8的立方根是2，故本选项错误；
C、＝2，故本选项错误；
D、＝2，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
29．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
【思路点拔】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【解答】解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵AB2＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
则××2＝×5×h，
解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
30．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．17.5 B．20 C． D．28
【思路点拔】利用勾股定理求出一边上的高，再计算出面积．
【解答】解；如图，过A作AD⊥BC，垂足为D．
设BD＝x，则CD＝5﹣x，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2
，∴x＝4，
∴AD＝＝＝4．
∴S△ABC＝BC AD＝×5×4＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的性质，三角形面积的计算，构造直角三角形求出高是本题的关键．
31．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2
【思路点拔】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B的面积之和＝49cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
32．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10
【思路点拔】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c），
∴b2＝a2﹣c2，
∴c2+b2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
33．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝20
B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10
D．点A到直线BC的距离是2
【思路点拔】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到AB、BC、AC的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
AB＝＝2，，即AB2＝20，故选项A正确，不符合题意；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确，不符合题意；
∴S△ABC＝AB AC＝5，故选项C错误，符合题意；
过点A作AD⊥BC于点D，
则BC AD＝×5AD＝5，
解得AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共13小题）
34．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 ．
【思路点拔】根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC是直角三角形，在直角△ACM中，利用三角函数即可求得∠CMA的度数，再在直角△BDM中利用三角函数即可求得BD的长．
【解答】解：∵（）2＝62+（）2，
∴AB2＝BC2+CA2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．
在直角△AMC中，CA＝，CM＝BC＝3，
∴∠CMA＝30°，
∴∠DMB＝30°，
在直角△BDM中，BD＝BM sin∠DMB＝3×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及解直角三角形的计算，正确认识解直角三角形的条件是解题的关键．
35．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 18 米．
【思路点拔】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB＝5m，AC＝12m，
∴，
∴大树的高度＝AB+BC＝5+13＝18（m），
故答案为：18．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关运算．
36．如图，长方形ABCD的边AB落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，BC＝1，连接BD，以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 1﹣ ．
【思路点拔】在Rt△ABD中，根据勾股定理求出BD的长，从而得到BE的长，即可得到点E表示的数．
【解答】解：在Rt△ABD中，
AB＝1﹣（﹣1）＝2，AD＝BC＝1，
∴BD＝＝＝，
∵以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E，
∴BE＝BD＝，
∴E点表示的数为1﹣，
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
37．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是 cm ．
【思路点拔】先把长方体分情况展开，再根据勾股定理出AB，比较出AB最小值，即为蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程．
【解答】解：如图1所示，
AB＝＝（cm）；
如图2所示，
AB＝＝（cm）；
如图3所示，
AB＝＝（cm）；
∵＜＜，
∴蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是cm．
故答案为：cm．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，分三种情况把立体图形展开成平面图形确定两点之间出的最短路径是解决此题的关键．
38．若，则（x+y）2023＝ 1 ．
【思路点拔】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
所以（x+y）2023＝（2﹣1）2023＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
39．计算：|﹣2|+＝ 4 ．
【思路点拔】由绝对值的定义，知|﹣2|＝2．由立方根的定义，知＝2，故|﹣2|+＝4．
【解答】解：|﹣2|+＝2+2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查绝对值及立方根，熟练掌握绝对值的定义及立方根的概念是解题关键．
40．已知a﹣1的平方根是±2，b+1的立方根为2，则代数式的值为 ．
【思路点拔】根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，然后根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：∵a﹣1的平方根是±2，b+1的立方根为2，
∴a﹣1＝4，b+1＝8，
解得：a＝10，b＝7，
则＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，则AB边的长是 4 ．
【思路点拔】在直角三角形中直接利用勾股定理计算即可．
【解答】解：根据勾股定理可得：AB＝＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找出直角边、斜边应用勾股定理计算是解题的关键．
42．如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 10 cm．
【思路点拔】先把圆柱的侧面展开，连接AB，利用勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图所示：
连接AB，
∵圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，
∴AC＝×12＝6cm，
在Rt△ABC中，
AB＝＝10cm．
故答案为：10
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题的关键是画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．
43．64的平方根是 ±8 ，64的立方根是 4 ．
【思路点拔】根据立方根和平方根的定义进行填空即可．
【解答】解：±＝±8，
＝4．
故答案为：±8；4．
【点评】本题考查了立方根、平方根，掌握立方根、平方根的定义是关键．
44．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
【思路点拔】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．
【解答】解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．
45．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 24 米．
【思路点拔】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．
【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC＝＝15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．
三．解答题（共9小题）
46．计算：÷﹣×+．
【思路点拔】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+4
＝2﹣3+4
＝6﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
47．计算：
解方程：4x2﹣9＝0．
【思路点拔】根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：移项，得
4x2＝9，即（2x）2＝9，
根据平方根的定义可得，
2x＝3或2x＝﹣3，
解得x＝或x＝﹣．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
48．已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求b2﹣a2的平方根．
【思路点拔】（1）根据平方根、立方根的定义可求出a、b的值；
（2）先求出b2﹣a2的值，再求b2﹣a2的平方根．
【解答】解：（1）∵27的立方根是3，即＝3，
∴6a+3＝27，
解得a＝4，
又∵16的算术平方根是4，即＝4，
∴3a+b﹣1＝16，而a＝4，
∴b＝5，
答：a＝4，b＝5；
（2）当a＝4，b＝5时，
b2﹣a2＝25﹣16＝9，
∴b2﹣a2的平方根为±＝±3．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，理解平方根、立方根的意义是正确计算的前提．
49．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．
【思路点拔】首先，在直角△ABO中，利用勾股定理求得AO＝5cm；然后在直角△AFO中，由勾股定理求得斜边FO的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答．
【解答】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，
∴AO＝＝5cm．
则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO＝＝13cm，
∴图中半圆的面积＝π×（）2＝π×＝（cm2）．
答：图中半圆的面积是cm2．
【点评】本题考查了勾股定理和圆的面积的计算．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
50．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．
【思路点拔】直接利用勾股定理得出EM，AM的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，MC＝＝3（米），
则EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，AM＝＝（米），
故AB＝AM﹣BM＝（﹣4）米，
答：宣传牌（AB）的高度为（﹣4）米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
51．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
【思路点拔】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB BC+AC CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
52．（1）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）2023；
（2）求x的值：（x+4）3＝﹣216；
（3）若x、y都为实数，且++y＝4，求x的值，并求（）3的值．
【思路点拔】（1）根据立方根，算术平方根，负整数指数幂，乘方的计算法则计算即可求解；
（2）直接开立方即可求解；
（3）根据二次根式有意义的条件可求x，进一步求出y，再根据立方的定义即可求解．
【解答】解：（1）+（﹣1）﹣1﹣（）2023
＝3++1﹣12023
＝3++1﹣1
＝3+；
（2）（x+4）3＝﹣216，
x+4＝﹣6，
x＝﹣10；
（3）∵++y＝4，
∴505x＝1，
解得x＝，
∴y＝4，
∴（）3＝（）3＝20203＝8242408000．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及二次根式有意义的条件，立方根，负整数指数幂，需要熟练掌握．
53．（1）2+﹣
（2）﹣|1﹣|﹣100﹣（）﹣1﹣|﹣|×．
【思路点拔】（1）先化简，再合并同类项即可求解；
（2）本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、三次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（1）2+﹣
＝2+3﹣
＝；
（2）﹣|1﹣|﹣100﹣（）﹣1﹣|﹣|×
＝2﹣+1﹣1﹣2﹣×（﹣3）
＝﹣2+
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、三次根式、绝对值等考点的运算．
勾股定理与实数 基础巩固训练
一．选择题（共34小题）
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
2．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
4．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
5．的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．
6．下列选项中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点P（x，y），且+|y+4|＝0，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列实数中，（ ）是无理数．
A．﹣3.1416 B． C．﹣ D．
9．若，则表示实数a的点会落在如图所示数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
10．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（ ）
A． B． C． D．
11．实数a在数轴上的位置如图所示，则﹣化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
12．下列判断不正确的是（ ）
A．3是9的平方根
B．6是（﹣6）2的算术平方根
C．﹣5是25的算术平方根
D．19的算术平方根是
13．下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ）
①有两个内角互余的三角形；
②三边长分别为0.3，0.4，0.5的三角形；
③三边之比为3：4：5的三角形；
④三个内角的比是1：2：3的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
16．的算术平方根为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
17．△ABC三边之比为3：4：5，其周长24，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．24 C．12 D．6.8
18．如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
20．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
21．若三角形的三边长a、b、c满足（a﹣7）2+|b﹣24|+|c﹣25|＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
22．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米
23．如图，已知圆柱底面的周长为12m，圆柱高为4m，BC为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为（ ）m．
A． B． C． D．
24．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．13 C．7 D．14
25．正方形ABCD的对角线AC的长是12cm，则边长AB的长是（ ）
A．6 B．2 C．6 D．8
26．有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
27．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2﹣b2＝c2 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
28．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2 B．8的立方根是±2
C． D．
29．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
30．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．17.5 B．20 C． D．28
31．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2
32．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10
33．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝20
B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10
D．点A到直线BC的距离是2
二．填空题（共13小题）
34．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 ．
35．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
36．如图，长方形ABCD的边AB落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，BC＝1，连接BD，以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ．
37．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是 ．
38．若，则（x+y）2023＝ ．
39．计算：|﹣2|+＝ ．
40．已知a﹣1的平方根是±2，b+1的立方根为2，则代数式的值为 ．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，则AB边的长是 ．
42．如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 cm．
43．64的平方根是 ，64的立方根是 ．
44．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
45．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
三．解答题（共9小题）
46．计算：÷﹣×+．
47．计算：
解方程：4x2﹣9＝0．
48．已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求b2﹣a2的平方根．
49．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．
50．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．
51．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
52．（1）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）2023；
（2）求x的值：（x+4）3＝﹣216；
（3）若x、y都为实数，且++y＝4，求x的值，并求（）3的值．
53．（1）2+﹣
（2）﹣|1﹣|﹣100﹣（）﹣1﹣|﹣|×．
